删除边以最小化子树和差异

本文将介绍一个常见的算法问题：删除树中的一条边，使得生成的两棵子树的节点和之差最小。

算法描述

考虑如何检查删除一条边后子树和之差的最小值。如果我们删除树中唯一的一条边，那么一定会将原树分成两个子树 $T_1$ 和 $T_2$，且这两个子树不会有任何重叠的节点。因此，只需要求出所有可能的 $T_1$ 和 $T_2$，分别计算它们的节点和之差，然后取最小值即可。

具体的算法流程如下：

1. 首先使用 DFS 从根节点开始，确认每个节点的子树节点和 $sum(i)$，并记录每个节点所在子树的节点总数 $num(i)$。
2. 然后使用 DFS 计算删除每条边后两个子树的节点和之差 $diff(i,j)$，其中 $i$ 和 $j$ 分别为相邻的两个节点。
3. 最后遍历所有的 $diff(i,j)$，取最小值。

算法实现

以下是使用 Python 实现的代码片段：

class TreeNode:
    def __init__(self, val=0, children=None):
        self.val = val
        self.children = children if children else []

class Solution:
    def subtreeSum(self, root: TreeNode) -> int:
        if not root:
            return 0
        else:
            return root.val + sum([self.subtreeSum(child) for child in root.children])

    def diff(self, root: TreeNode, total: int, num: int, results: List[int]) -> Tuple[int, int]:
        s, n = root.val, 1
        for child in root.children:
            cs, cn = self.diff(child, total, num, results)
            s += cs
            n += cn
        results.append(abs(total - 2 * s))
        return s, n

    def minimumDifference(self, root: TreeNode) -> int:
        results = []
        total, num = self.subtreeSum(root), len(root.children) + 1
        for child in root.children:
            self.diff(child, total, num, results)
        return min(results)

总结

删除边以最小化子树和差异是一道典型的算法问题。本文介绍了一种简单但有效的算法来解决这个问题，并提供了 Python 实现的代码片段。在实践中，我们可以根据实际情况对该算法进行优化，例如通过记忆化存储子树节点和等中间结果来降低计算复杂度。