最大化到达数组末尾的元素数

题目描述：给定一个非负整数数组，你最初位于数组的第一个位置。数组中的每个元素代表你在该位置可以跳跃的最大长度。你的目标是使用最少的跳跃次数到达数组的最后一个位置。假设你总是可以到达数组的最后一个位置。

这是一道经典的贪心算法题目。本题解将提供两种不同的解决方法，帮助程序员理解贪心算法的思想。

解法一：贪心算法

贪心算法是适用于一些最优化问题的比较高效的算法，它每次选取当前状态下最优的选择，从而得出全局最优解。

对于本问题，我们可以采取这样的贪心策略：在可选范围内选择能够跳的最远的位置，由于每次选择都是当前最优的，因此最终得到的一定是最优解。

def jump(nums: List[int]) -> int:
    n = len(nums)
    end, max_pos, steps = 0, 0, 0
    for i in range(n - 1):
        max_pos = max(max_pos, i + nums[i])    # 能跳到的最远距离
        if i == end:    # 遇到边界，就更新边界，并且步数加一
            end = max_pos
            steps += 1
    return steps

时间复杂度：O(n)，其中 n 是数组中的元素个数。只需要对数组遍历一次，同时更新对应的变量。

空间复杂度：O(1)，只需使用常数个变量。

解法二：动态规划

动态规划是一种解决多阶段决策问题的优化方法。通过对多阶段情况的分析，确定状态，转移方程和边界条件，通过递推计算得出最终解。

对于本问题，我们可以将每一个可以到达末尾的位置，定义为一个状态。例如对于样例 [2,3,1,1,4]，数组中的元素分别定义为状态 0、1、2、3、4。对于每个状态，我们记录到达该状态需要跳跃的最小步数，然后根据状态之间的转移关系，递推地计算出所有状态的最小步数。

def jump(nums: List[int]) -> int:
    n = len(nums)
    dp = [0] * n
    for i in range(1, n):
        dp[i] = float('inf')    # 初始值为 INF
        for j in range(i):
            if j + nums[j] >= i:
                dp[i] = min(dp[i], dp[j] + 1)

    return dp[n - 1]

时间复杂度：O(n^2)，其中 n 是数组中的元素个数。需要对数组中的每个元素都进行一次遍历，在遍历的过程中，需要对每个元素前面的状态进行更新，因此总时间复杂度为 O(n^2)。

空间复杂度：O(n)，其中 n 是数组中的元素个数。需要开辟一个数组记录每个状态的最小步数。

综上所述，本问题的贪心算法解法更加高效，能够在更短的时间内得出最优解。