删除数组末尾元素以最大化乘积之和

当面对一个数组时，我们有时需要对其进行一些操作以达到一些特定的目标，例如删除数组末尾元素以最大化乘积之和。这个问题听起来可能有点难理解，但实际上它很简单。

问题描述

给定一个长度为n的正整数数组nums，删除数组的末尾元素nums[n-1]，并将所有其它元素乘起来，得到剩余元素的乘积。重复这个步骤，直到数组中只剩一个元素为止。求所有可能的操作下，得到的所有剩余元素乘积的和的最大值。

思路分析

首先，我们需要寻找到一些规律。考虑数组中只有两个元素的情况，显然，我们新数组中的元素乘积等于旧数组中的元素之和，即 $a_1+a_2$。

当数组长度为3时，我们将数组最后一个元素删除，所得到的新数组只有两个元素，即 $a_1$ 和 $a_2$，它们的积等于 $a_1*a_2$。我们继续删除最后一个元素，得到新数组为 $[a_1]$，所有的元素之和即为 $a_1$。

当数组长度为4时，我们先将数组末尾的元素删除，得到新数组 $[a_1,a_2,a_3]$。根据我们在长度为三的数组情况中得到的结论，我们可以将其处理成 $a_1+a_2*a_3$ 的形式，此时我们必须删除一个元素。下面的分析中，我们将使用 $f_i$ 表示当数组长度为 $i+1$ 时，得到的所有剩余元素乘积的和的最大值。

当长度为4时，因为我们必须删除一项，所以我们只需要删除第一个元素或者最后一个元素即可。所以最终我们得到的结果为 $\max{f_3,a_1+a_2a_3,a_1a_2}$。

接下来我们考虑长度为5的情况，我们可以通过上述的结论来进行计算，即 $f_4=\max{f_3,a_1+a_2a_3+a_4,a_1+a_2a_3a_4,a_1a_2+a_3*a_4}$。随着数组长度的增加，我们需要考虑的情况也越来越多，但是我们可以通过归纳法来总结出通用的解决方法，即：

$$f_i = \max_{j=2}^{i}{f_{j-2}+\max_{k=j}^{i-1}{a_k*\prod_{l=j}^{k-1}a_l}}$$

代码实现

def max_product_sum(nums):
    n = len(nums)
    f = [0] * n
    f[0] = nums[0]

    for i in range(1, n):
        temp = -float('inf')
        for j in range(1, i + 1):
            product = nums[i]
            for k in range(j - 1, i):
                product *= nums[k]
            temp = max(temp, f[j - 2] + product)
        f[i] = max(temp, nums[i], f[i - 1] + nums[i])

    return f[-1]

总结

删除数组末尾元素以最大化乘积之和是一个简单但又有趣的问题。本文介绍了该问题的思路和计算公式，并通过python代码进行了实现。我们可以使用归纳法来得到通用的解决方法，但是要注意到在计算时可能会涉及到大数乘法，如果数组元素过大可能会导致计算结果错误。