将4个项目放置在 $n^2$ 个位置的方式，以使行列中不包含一个以上的项目

题意

将4个项目（可能相同，下同）分别放在 $n^2$ 个位置之中，使得它们在行列中都互不相交，即同一行、同一列都不会出现两个或更多的项目。求所有这样的放置方式。

解题思路

我们可以把问题抽象成一个搜索问题：从 $n^2$ 个位置中任选4个位置放置项目，要求这4个位置在行列中都互不相交。具体来说，我们可以设计以下伪代码：

all_placements = []

def dfs(placement, row_counts, col_counts, diag_counts, off_diag_counts):
    if len(placement) == 4:
        all_placements.append(placement)
        return
    n = len(row_counts)
    for i in range(n):
        for j in range(n):
            if row_counts[i] == 0 and col_counts[j] == 0 and diag_counts[i+j] == 0 and off_diag_counts[i-j+n] == 0:
                row_counts[i] += 1
                col_counts[j] += 1
                diag_counts[i+j] += 1
                off_diag_counts[i-j+n] += 1
                dfs(placement + [(i, j)], row_counts, col_counts, diag_counts, off_diag_counts)
                row_counts[i] -= 1
                col_counts[j] -= 1
                diag_counts[i+j] -= 1
                off_diag_counts[i-j+n] -= 1

dfs([], [0]*n, [0]*n, [0]*(2*n-1), [0]*(2*n-1))

上面的代码中，我们使用深度优先搜索（DFS）的方式枚举所有的放置方式。具体来说：

• placement 是当前已经放置的项目的位置，初始为空列表
• row_counts[i] 表示第 $i$ 行已经放置了多少个项目
• col_counts[j] 表示第 $j$ 列已经放置了多少个项目
• diag_counts[k] 表示对角线 $i+j=k$ 已经放置了多少个项目
• off_diag_counts[k] 表示反对角线 $i-j=n-k+1$ 已经放置了多少个项目

如果当前放置的项目数量还不足4个，那么我们枚举所有可能的位置。对于每个位置，如果当前行、列、对角线、反对角线都没有放置过项目，那么我们就将当前位置加入到 placement 中，并更新上面的四个计数器，然后递归处理剩余的项目。递归回溯时，我们需要恢复这4个计数器的值，以便处理其他的放置方式。

如果已经放置了4个项目，那么我们就将当前的放置方式加入到结果列表 all_placements 中，并直接返回。

由于可能存在多种相同的放置方式，我们最终需要对 all_placements 去重，并返回最终结果。完整的代码如下：

from typing import List, Tuple

def all_placements(n: int) -> List[List[Tuple[int, int]]]:
    all_placements = []
    def dfs(placement, row_counts, col_counts, diag_counts, off_diag_counts):
        if len(placement) == 4:
            all_placements.append(placement)
            return
        for i in range(n):
            for j in range(n):
                if row_counts[i] == 0 and col_counts[j] == 0 and diag_counts[i+j] == 0 and off_diag_counts[i-j+n] == 0:
                    row_counts[i] += 1
                    col_counts[j] += 1
                    diag_counts[i+j] += 1
                    off_diag_counts[i-j+n] += 1
                    dfs(placement + [(i, j)], row_counts, col_counts, diag_counts, off_diag_counts)
                    row_counts[i] -= 1
                    col_counts[j] -= 1
                    diag_counts[i+j] -= 1
                    off_diag_counts[i-j+n] -= 1
    dfs([], [0]*n, [0]*n, [0]*(2*n-1), [0]*(2*n-1))
    return [list(set(placement)) for placement in all_placements]

复杂度分析

由于最多要枚举 $n^2$ 个位置中的 $4$ 个位置，所以时间复杂度最坏为 $O(n^8)$。空间复杂度为 $O(n^2)$，需要存储 $4$ 个位置，以及 $4$ 个计数器。由于 $n$ 很小，所以时间和空间复杂度都是可以接受的。

总结

本题可以看作是一道搜索类问题，考察了搜索算法的综合应用。对于此类问题，我们需要从问题的形式出发，抽象出相应的模型，设计相应的搜索算法，并根据具体情况进行剪枝。