查询以计数从1到N的无序互素对的数量

在数论中，两个数的最大公约数为1的情况下，它们被称为互素。对于给定的正整数N，计算1到N之间的无序互素对数量是一个经典的问题。本文将介绍如何计算这个数量。

一、问题描述

给定N，计算在1到N之间有多少个数字对(i, j)是互素的。这里对于每个数字对(i, j)，我们认为它们是无序的，即(i, j)和(j, i)被视为相同的。

二、解决方案

方法一：暴力枚举

最简单的方法是对于每个数字对(i, j)(i < j)，检查它们的最大公约数是否为1。如果是，则将它们添加到计数器中。由于需要检查O(N^2)对数字的最大公约数，所以此方法的时间复杂度为O(N^2)。这种方法适用于N比较小的情况。

方法二：使用欧拉函数

欧拉函数φ(n)定义为小于或等于n的正整数中与n互素的数的数量。显然，当n为质数时，φ(n) = n - 1。

我们可以使用欧拉函数来计算在[1, N]范围内的互素数对数量。对于每个i，它与j的所有可能的互素数对数为φ(i)。因此，可以通过计算[1, N]中每个数字的欧拉函数和来获得答案。

这种方法的时间复杂度为O(N log log N)，与欧拉筛相同。

方法三：使用线性筛法

线性筛法是指一种生成素数和欧拉函数的方法。基本思想是对于每个数x，只考虑它的最小质因数p。然后，我们可以根据p的欧拉函数值计算x的欧拉函数值。

线性筛法的复杂度为O(N)，与欧拉筛相同。所以我们使用线性筛法来计算在[1, N]范围内的互素数对数量。

三、代码实现

以下是使用线性筛法计算在[1, N]范围内的互素数对数量的Python代码：

def count_coprime_pairs(n):
    phi = list(range(n + 1))
    ans = 0
    for i in range(2, n + 1):
        if phi[i] == i:
            for j in range(i, n + 1, i):
                phi[j] = phi[j] // i * (i - 1)
        ans += phi[i] - 1
    return ans

可以看出，代码比较简单易懂，首先初始化欧拉函数数组phi。然后我们使用线性筛法计算phi数组。

最后，我们遍历[2, N]中的每个数字，并将该数字与[1, N]中所有小于它的数字组合，计算它们之间的互素对数。

四、总结

本文介绍了三种不同的方法来计算在[1, N]范围内的互素数对数量。虽然第一种方法最简单，但因其时间复杂度高，仅适用于N比较小的情况。欧拉函数和线性筛法都能够在更短的时间内计算出答案，而且时间复杂度相同。

参考链接：

1. https://en.wikipedia.org/wiki/Coprime_integers
2. https://en.wikipedia.org/wiki/Euler%27s_totient_function
3. https://cp-algorithms.com/algebra/phi-function.html
4. https://cp-algorithms.com/algebra/linear-sieve.html