范围查询设置位的数量

在程序开发中，我们有时需要快速地统计一个整数数列中在某个范围内所有数字二进制表示中设置为1的数量。这时，我们可以使用一些高效的算法来实现。

方法一：暴力循环法

暴力循环法是一种最简单直观的方法，它的基本思路是对于每个数字，将其二进制表示中的每一位都检查一遍，统计其中设置为1的数量。在这种方法中，我们可以使用位运算来进行位的判断和计数。

def bit_count(num):
    count = 0
    while num > 0:
        if num & 1:
            count += 1
        num = num >> 1
    return count

def count_bits(arr, start, end):
    count = 0
    for i in range(start, end+1):
        count += bit_count(arr[i])
    return count

在上面的代码中，我们首先实现了一个计算一个整数二进制位中设置为1的数量的函数bit_count。接着，我们实现了一个对于数列arr在start到end范围内所有数字中设置为1的总数量进行统计的函数count_bits。这种方法的时间复杂度为$O(nk)$，其中$n$为数列长度，$k$为一个数的二进制位数。

方法二：位运算法

位运算法是一种常见的高效算法，它的基本思路是通过位运算的方式快速地统计一个整数二进制表示中设置为1的数量。这种方法的时间复杂度为$O(n)$，其中$n$为数列长度。具体算法可以参考下面的示例代码。

def count_bits(arr, start, end):
    count = 0
    for i in range(start, end+1):
        num = arr[i]
        while num > 0:
            num &= num-1
            count += 1
    return count

上面的代码中，我们对于数列arr中start到end范围内的每个数字进行了统计。在计算时，我们使用了位运算符&和-，这样可以快速地将一个二进制数的最后一位1消除。这种方法不仅时间复杂度低，而且运算速度快，是一种常见的位运算技巧。

方法三：查表法

查表法是一种空间换时间的方法，它的基本思路是通过提前构造一个大小为$2^k$（$k$为一个数的二进制位数）的表格，表格中每个元素表示对应的数字在二进制表示中设置为1的数量。在实际统计的过程中，只需要对于数列中的每个数字进行二进制拆分，然后利用查表的方式快速获取对应数量即可。这种方法的时间复杂度为$O(n)$，空间复杂度为$O(2^k)$。

def count_bits(arr, start, end):
    bit_count = [0]*256 # 构造查找表格
    for i in range(256):
        bit_count[i] = (i&1) + bit_count[i>>1]

    count = 0
    for i in range(start, end+1):
        num = arr[i]
        count += bit_count[num&0xff]
        num = num >> 8
        count += bit_count[num&0xff]
        num = num >> 8
        count += bit_count[num&0xff]
        num = num >> 8
        count += bit_count[num&0xff]

    return count

上面的代码中，我们首先构造了一个大小为256的查找表格bit_count，其中使用了位运算来计算每个数字的二进制表示中的设置为1的数量。接着，我们对于数列arr中start到end范围内的每个数字，进行了二进制拆分，然后查表获取了对应的数量，最后进行累加。这种方法虽然需要额外的空间来存储查找表格，但是在处理大规模数据时具有明显的优势。

总结

在本文中，我们介绍了三种不同的方法来实现范围查询中二进制位设置为1的数量的快速统计。这些方法包括暴力循环法、位运算法和查表法，它们各具特色，可以根据实际情况来选择使用。值得注意的是，在实际应用中，不同的算法可能会因为数据规模的不同而产生巨大的性能差异，因此需要对于具体情况进行综合考虑，以便选择最适合的算法。