数组中两个数字相除的最大值

在一个数组中找到两个数，它们的除法结果是所有可能的数对中最大的。这个问题可以归结为查找最大比率问题。

下面我们将介绍三种解决方法：

1. 暴力枚举

我们可以枚举数组中的所有数对，并求它们的商，找出最大值。具体实现如下：

def max_divide(nums):
    res = float('-inf')  # 初始化为负无穷
    for i in range(len(nums)):
        for j in range(i+1, len(nums)):
            if nums[i] == 0:  # 分子为 0，跳过本次循环
                continue
            res = max(res, nums[j] / nums[i])
    return int(res) if res != float('-inf') else None  # 返回整数结果，如果没有找到返回 None

时间复杂度为 $O(n^2)$。

2. 排序+双指针

我们先对数组进行排序，然后使用双指针，从两端往中间查找。因为排序之后数组中的元素具有单调性，所以不断地找到两端中更大的数来做商，就可以得到最大的商。

具体实现如下：

def max_divide(nums):
    nums.sort()  # 排序
    left, right = 0, len(nums) - 1
    res = float('-inf')  # 初始化为负无穷
    while left < right:
        if nums[left] == 0:  # 分子为 0，跳过本次循环
            left += 1
            continue
        res = max(res, nums[right] / nums[left])
        left += 1  # 移动指针
    return int(res) if res != float('-inf') else None  # 返回整数结果，如果没有找到返回 None

时间复杂度为 $O(n\log n)$。

3. 线性扫描

当我们遍历数组的时候，我们需要同时维护两个变量：最小值和最大比率。具体来说，我们用 $min_val$ 来记录当前最小值，用 $res$ 来记录当前最大比率，每次遍历时，用当前元素除以 $min_val$，更新 $res$，然后用当前元素的值更新 $min_val$。

具体实现如下：

def max_divide(nums):
    res = float('-inf')  # 初始化为负无穷
    min_val = float('inf')  # 初始化为正无穷
    for num in nums:
        if num == 0:  # 分子为 0，跳过本次循环
            continue
        res = max(res, num / min_val)
        min_val = min(min_val, num)  # 更新最小值
    return int(res) if res != float('-inf') else None  # 返回整数结果，如果没有找到返回 None

时间复杂度为 $O(n)$。