复数相除

复数是具有公式 a + ib 的数，其中 a 和 b 是实数，I (iota) 是虚数部分，表示 (-1)，通常以矩形或标准形式表示。例如，10 + 5i 是一个复数，其中 10 代表实部，5i 代表虚部。根据 a 和 b 的值，它们可能是完全真实的或纯虚构的。当a + ib 中a = 0 时，ib 是一个全虚数，而当b = 0 时，我们得到a，它是一个严格实数。

两个复数相除

两个复数的除法过程与两个实数的除法过程略有不同。在以无理数作为分母的分数的情况下，除以复数更像是使分母有理化的概念。

涉及以下步骤：

• 确保分子和分子都是复数的标准形式，即 z = a + ib。
• 计算分母的复共轭。比如说，如果分母是 c + id，那么它的共轭是 c - id。
• 将共轭与分数的两项相乘。
• 使用平方差公式求解分母。
• 将得到的复数分成实部和虚部。

两个复数z ₁ = x + iy 和z ₂ = a + ib 的除法过程如下所示：

$\begin{aligned}\dfrac{z_1}{z_2}&=\dfrac{x+iy}{a+ib}\\&=\dfrac{x+iy}{a+ib}\times\dfrac{a-ib}{a-ib}\\&=\dfrac{(x+iy)(a-ib)}{a^2-(ib)^2}\\&=\dfrac{ax-ibx+iay-i^2by}{a^2-(-1)b^2}\\&=\dfrac{ac-ibx+iay+by}{a^2+b^2}\\&=\dfrac{(ax+by)+i(ay-bx)}{a^2+b^2}\\&=\dfrac{ax+by}{a^2+b^2}+i\left(\dfrac{ay-bx}{a^2+b^2}\right)\end{aligned}$

类似问题

问题 1. 解决： $\frac{-3-5i}{2i}$ .

解决方案：

Standard form of denominator 2i = 0 + 2i

Conjugate of the denominator = 0 − 2i

Multiply both the numerator and denominator by 0 + 2i.

$\begin{aligned}\dfrac{z_1}{z_2}&=\dfrac{-3-5i}{0+2i}\\&=\dfrac{-3-5i}{0+2i}\times\dfrac{0-2i}{0-2i}\\&=\dfrac{(-3-5i)(0-2i)}{0^2-(2i)^2}\\&=\dfrac{-5}{2}+i\left(\dfrac{3}{2}\right)\end{aligned}$

问题 2. 解决： $\frac{-1}{3+2i}$ .

解决方案：

Conjugate of the denominator = 3 + 2i

Multiply both the numerator and denominator by 3 – 2i.

$\begin{aligned}\dfrac{z_1}{z_2}&=\dfrac{-1}{3+2i}\\&=\dfrac{-1}{3-2i}\times\dfrac{3+2i}{3+2i}\\&=\dfrac{(-3+2i)}{3^2-(2i)^2}\\&=\dfrac{-3}{13}+i\left(\dfrac{2}{13}\right)\end{aligned}$

问题 3. 解决： $\frac{1}{3+2i}$ .

解决方案：

Conjugate of the denominator = 3 + 2i

Multiply both the numerator and denominator by 3 – 2i.

$\begin{aligned}\dfrac{z_1}{z_2}&=\dfrac{1}{3+2i}\\&=\dfrac{1}{3-2i}\times\dfrac{3+2i}{3+2i}\\&=\dfrac{(3+2i)}{3^2-(2i)^2}\\&=\dfrac{3}{13}+i\left(\dfrac{2}{13}\right)\end{aligned}$

问题 4. 求解 (5+√2i)/(1−√2i)。

解决方案：

Conjugate of denominator = 1 + √2i

Multiply both the numerator and denominator by 1 + √2i.

$\begin{aligned}\dfrac{5+\sqrt{2}i}{1-\sqrt{2}i}=\dfrac{a+ib}{c+id}&=\dfrac{ac+bd}{c^2+d^2}+i\left(\dfrac{bc-ad}{c^2+d^2}\right)\\&=\dfrac{(5\times 1)+(\sqrt{2}\times(-\sqrt{2}))}{1^2+(-\sqrt{2})^2}+\\&i\left(\dfrac{(\sqrt{2} \times 1)-(5\times(-\sqrt{2}))}{1^2+(-\sqrt{2})^2}\right)\\&=\dfrac{5-2}{1+2}+i\left(\dfrac{\sqrt{2}+5\sqrt{2}}{1+2}\right)\\&=\dfrac{3+6\sqrt{2}i}{1+2}\\&=1+2\sqrt{2}i\end{aligned}$

问题 5. 解决： $\frac{1-5i}{-3i}$ .

解决方案：

Standard form of denominator −3i = 0 − 3i

Conjugate of the denominator = 0 + 3i

Multiply both the numerator and denominator by 0 + 3i.

$\begin{aligned}\dfrac{z_1}{z_2}&=\dfrac{1-5i}{0-3i}\\&=\dfrac{1-5i}{0-3i}\times\dfrac{0+3i}{0+3i}\\&=\dfrac{(1-5i)(0+3i)}{0^2-(3i)^2}\\&=\dfrac{3i-15i^2}{0^2-(-1)3^2}\\&=\dfrac{3i+15}{0^2+3^2}\\&=\dfrac{3i+15}{9}\\&=\dfrac{5}{3}+i\left(\dfrac{1}{3}\right)\end{aligned}$

问题 6. 求解：(1 + 5i)/-3i。

解决方案：

Standard form of denominator −3i = 0 − 3i

Conjugate of the denominator = 0 + 3i

Multiply both the numerator and denominator by 0 + 3i.

$\begin{aligned}\dfrac{z_1}{z_2}&=\dfrac{1+5i}{0-3i}\\&=\dfrac{1+5i}{0-3i}\times\dfrac{0+3i}{0+3i}\\&=\dfrac{(1+5i)(0+3i)}{0^2-(3i)^2}\\&=\dfrac{3i+15i^2}{0^2-(-1)3^2}\\&=\dfrac{3i-15}{0^2+3^2}\\&=\dfrac{3i-15}{9}\\&=\dfrac{-5}{3}+i\left(\dfrac{1}{3}\right)\end{aligned}$

问题 7. 解决： $\frac{1}{3-2i}$ .

解决方案：

Conjugate of the denominator = 3 − 2i

Multiply both the numerator and denominator by 3 + 2i.

$\begin{aligned}\dfrac{z_1}{z_2}&=\dfrac{1}{3-2i}\\&=\dfrac{1}{3-2i}\times\dfrac{3+2i}{3+2i}\\&=\dfrac{(3+2i)}{3^2-(2i)^2}\\&=\dfrac{3}{13}+i\left(\dfrac{2}{13}\right)\end{aligned}$