通过最多买卖K股获得最大利润|贪婪的方法

介绍

在股市中，股票价格随市场供求关系波动，投资者可以通过买入低价股票，再在高价时卖出来获利。这里介绍一种贪婪的方法，可以在最多买卖K次的情况下获得最大利润。

思路

利用贪婪算法，我们可以在每个较小的两个价格之间进行交易。假设当前在第i个交易日，买入价格为prices[i-1]，卖出价格为prices[i]，则可以获得的利润为prices[i]-prices[i-1]。为了获得最大利润，我们希望在每次交易前都能知道未来价格的趋势。如果未来价格上涨，我们则在当前价格前买入，后卖出；如果未来价格下跌，我们则不进行任何交易，等待未来更好的时机。

假设我们已经知道了每天的股价，以及最多可以进行k次交易。我们使用一个3维数组dp[i][j][0/1]来表示当前是第i天，在交易j次的前提下，我们是否拥有一支股票或空仓。其中，0表示空仓，1表示持有股票。我们则可以根据以下状态转移方程进行计算：

• dp[i][j][0] = max(dp[i-1][j][0], dp[i-1][j][1] + prices[i]). 在第i天卖出，交易次数增加，资金增加，将持有股票状态转化为空仓状态。
• dp[i][j][1] = max(dp[i-1][j][1], dp[i-1][j-1][0] - prices[i]). 在第i天买入，交易次数不变，资金减少，将空仓状态转化为持有股票状态。

在这里我们使用贪婪算法，每一次交易都希望获得最大利润，因此我们可以在上涨期间进行交易，直到价格下跌为止。

代码实现

以下是python代码实现：

def maxProfit(k: int, prices: List[int]) -> int:
    n = len(prices)
    if k > n / 2:
        # 当k>len(prices)/2时，等价于k为正无穷，因此可以退化为贪心算法
        dp_i_0, dp_i_1 = 0, -prices[0]
        for i in range(1, n):
            dp_i_0 = max(dp_i_0, dp_i_1 + prices[i])
            dp_i_1 = max(dp_i_1, dp_i_0 - prices[i])
        return dp_i_0

    # 初始化数组
    dp = [[[0] * 2 for _ in range(k+1)] for _ in range(n)]
    for i in range(n):
        dp[i][0][0], dp[i][0][1] = 0, -float('inf')
    for j in range(k+1):
        dp[0][j][0], dp[0][j][1] = 0, -prices[0]

    # 状态转移
    for i in range(1, n):
        for j in range(1, k+1):
            dp[i][j][0] = max(dp[i-1][j][0], dp[i-1][j][1] + prices[i])
            dp[i][j][1] = max(dp[i-1][j][1], dp[i-1][j-1][0] - prices[i])

    return dp[n-1][k][0]

总结

通过以上介绍，我们可以看到贪婪算法在股票买卖问题中的应用，这种方法的优点在于时间复杂度比较低，只需要$O(N \cdot K)$的时间复杂度。同时，这种方法可以处理一些琐碎的细节问题，比如重复交易，交易次数超了以后不能买卖，等等问题。在使用该算法时，需要根据实际情况分析股票波动情况和交易次数，以选择一个合适的解法。