数组中每个元素右侧较大元素的计数

在一个整数数组 nums 中，对于每个 nums[i]，请计算出它右侧比它大的元素数量。

示例：

输入：nums = [5,2,6,1] 输出：[2,1,1,0] 解释： 5 的右侧有 2 个比它大的数（6 和 44）。 2 的右侧仅有 1 个比它大的数（6）。 6 的右侧仅有 1 个比它大的数（44）。 1 的右侧没有比它大的数。

解法

该问题可以用暴力求解，我们可以使用嵌套循环，对于每个数 check 所有的右侧元素是否比他大，如果是，那么 count++。

下面是 python3 的代码片段：

def countSmaller(nums):
    counts = []
    for i in range(len(nums)):
        count = 0
        current = nums[i]
        for j in range(i+1, len(nums)):
            if nums[j] > current:
                count += 1
        counts.append(count)
    return counts

该算法的时间复杂度为 $O(n^2)$，不是最优解法，但是可以用来帮助我们更好地理解问题。

更高效的解法是使用归并排序算法。首先我们需要给 nums 数组排序，并记录每个数的原始下标。我们从数组的右侧开始遍历已排序的数，对于每个数，我们都可以用一个计数器记录其右侧比它大的元素数量，并将这个计数器赋值给结果数组 num_counts 中对应的位置。具体实现可以看下面的代码：

def countSmaller(nums):
    def merge_sort(enum):
        mid = len(enum) // 2
        if mid:
            left, right = merge_sort(enum[:mid]), merge_sort(enum[mid:])
            for i in range(len(enum))[::-1]:
                if not right or left and left[-1][1] > right[-1][1]:
                    smaller[left[-1][0]] += len(right)
                    enum[i] = left.pop()
                else:
                    enum[i] = right.pop()
        return enum
    smaller = [0] * len(nums)
    merge_sort(list(enumerate(nums)))
    return smaller

在该版本中，我们使用了归并排序算法。我们首先将enumerate(nums)中的每个数变成一个有序的数对，其中第一个元素是原数组nums中的数对应的下标，第二个元素是原数组nums中的数。我们然后按照 数组中第二个元素的大小 对整个数组排序。在排序过程中，我们对于每个数 check 排序后的数组的右侧，如果右侧的数比它大，那么这个数的下标对应的结果数组 smaller 中值就应该加一。 最后我们返回 smaller 数组。

这个算法的时间复杂度为 $O(n \log n)$，因为我们使用了归并排序算法，最坏情况下需要进行的操作次数的上界是 $n \log n$，所以时间复杂度是 $O(n \log n)$。