从0到N的数字的位差总和|套装2

简介

本题要求计算从0到N的数字的位差总和。位差的定义为相邻数码的差的绝对值。

例如：当N为12345时，位差总和为1+1+1+1=4。

题目要求

输入格式

输入一个整数N。

输出格式

输出从0到N的数字的位差总和。

输入样例

5

输出样例

4

思路

本题可以使用数位DP的方法求解。将数字N转换为字符串，枚举字符串中每一位数字，分情况考虑。

例如：当枚举到字符串的第i位数字时，分别计算以该数字作为结尾，且长度为1、2、3……i的数字所能贡献的位差和。

以长度为1为例，假设当前枚举到的数字为x，则以x作为结尾，长度为1的数字只有1个，即x本身，其贡献的位差和为0。

以长度为2为例，假设当前枚举到的数字为x，则以x作为结尾，长度为2的数字有10个，分别是0x、1x、2x……9x。对于以10-99为结尾的数字，它们的贡献位差和可以由上一个数字的状态转移而来。例如：当x为3时，以3为结尾，长度为2的数字共有10个，分别是03、13、23、33、43、53、63、73、83、93。其中，03的贡献位差和为0，13的贡献位差和为1，23的贡献位差和为2，33的贡献位差和为0，将33的贡献位差和记为f[3][2][3]。当枚举到4时，以4为结尾，长度为2的数字共有10个，分别是04、14、24、34、44、54、64、74、84、94。其中，04的贡献位差和为1，14的贡献位差和为2，24的贡献位差和为3，34的贡献位差和为4，44的贡献位差和为0。对于以34-99为结尾的数字，它们的贡献位差和可以由上一个数字的状态转移而来。

以长度为3为例，假设当前枚举到的数字为x，则以x作为结尾，长度为3的数字有100个，分别是00x、01x、02x……99x。对于以100-999为结尾的数字，它们的贡献位差和可以由上一个数字的状态转移而来。以此类推，直至长度为n。

最后将各个长度的贡献位差和相加即可。

具体实现时，可以使用三维数组f[i][j][k]表示以k作为结尾，长度为j的数字所能贡献的位差和。其中，i表示字符串的长度，即数字的位数。

初始状态为f[1][1][0~9]=0。

代码实现

def digit_diff_sum(n: int) -> int:
    s = str(n)
    m = len(s)
    f = [[[0] * 10 for _ in range(m + 1)] for _ in range(m + 1)]

    for i in range(10):
        f[1][1][i] = 0

    for i in range(2, m + 1):
        for j in range(1, i + 1):
            for k in range(10):
                if j == 1:
                    f[i][j][k] = 0
                else:
                    for l in range(10):
                        f[i][j][k] += abs(k - l) * f[i - 1][j - 1][l]

    res = sum(f[i][j][k] for i in range(1, m + 1) for j in range(1, i + 1) for k in range(10))
    return res