从0到N的数字的位差总和|套装2

这是一个计算从0到N的数字的位差总和的算法，该算法用于套装2。

介绍

这个算法计算从0到N的数字的位差总和，即所有相邻数字各位上相减之和的总和。比如，从0到99，数位之差总和为 1 + 1 + ... + 1 = 90。

该算法采用了动态规划的思路，在计算每个数的位差总和时，会利用已计算好的数的结果，避免了重复计算。同时，该算法的时间复杂度为 O(logN)，性能较好。

算法实现

下面是该算法的实现代码：

def get_digit_diff_sum(n):
    """
    计算从0到N的数字的位差总和
    :param n: 整数 N
    :return: 位差总和
    """
    if n < 10:
        return n * (n + 1) // 2

    nums = [int(x) for x in str(n)]
    num_len = len(nums)
    dp = [[0] * 10 for _ in range(num_len)]

    # 初始化第一行
    for i in range(1, 10):
        dp[0][i] = i

    # 计算 dp 数组
    for i in range(1, num_len):
        for j in range(10):
            for k in range(j, 10):
                dp[i][j] += dp[i-1][k]

        dp[i][0] += dp[i-1][0] * 9 + sum(range(1, 10))

    # 计算位差总和
    res = 0
    for i, num in enumerate(nums):
        for j in range(num):
            res += dp[num_len-i-1][j]

        if i == num_len - 1:
            res += num * (num + 1) // 2
        else:
            res += dp[num_len-i-1][num] + num * sum(nums[i+1:]) + num * (num-1) // 2 * (10 ** (num_len-i-2))

    return res

算法分析

该算法分为两个部分：

1. 计算 dp 数组：对于任意一个大于等于10的数字 x，其位差总和可以由小于等于 x 的数字的位差总和计算得出。因此，我们可以利用已计算好的小于等于 x 的数字的位差总和，计算 x 的位差总和。

   具体地，我们使用一个二维数组 dp，其中 dp[i][j] 表示所有位数为 i 的数字中，各位上的差（高位减去低位）之和为 j 的数字的位差总和之和。

   对于任意一个数字 x，我们可以将其拆分为 nums 数组，其中 nums[0] 表示 x 的最高位，nums[-1] 表示 x 的最低位。然后，我们可以通过以下公式计算 x 的位差总和：

   res = dp[len(nums)-1][0] * nums[0] + dp[len(nums)-1][1] * (sum(nums[1:]) + 1) + ... + dp[len(nums)-1][nums[0]-1] * (sum(nums[1:]) + 10 ** (len(nums)-1))
   
   res += nums[0] * (nums[0]-1) // 2 * (10 ** (len(nums)-1))
   res += get_digit_diff_sum(x % (10 ** (len(nums)-1)))
   

   其中，第一行公式计算的是最高位为 nums[0] 的所有数字的位差总和之和。每一行的公式都可以类似地计算出来。最后一个公式则是递归计算小于 10 ** (len(nums)-1) 的数字的位差总和。

2. 计算位差总和：每次计算 dp 数组时，我们都会利用到已经计算好的 dp 值，因此，时间复杂度为 O(logN)。