在 Matrix 中查找特定对

在计算机科学中，Matrix（矩阵）是一个由数字或符号排列成的矩形数组。经常需要在 Matrix 中查找特定对，并对其进行分析和操作。本文将介绍如何使用 Python 在 Matrix 中查找特定对。

问题描述

给定一个矩阵 Matrix，查找是否存在两个不同的元素满足它们的和等于给定的整数 k。如果存在这样的一对数，请输出其下标。如下所示：

# 示例 Matrix
matrix = [
    [1, 4, 7, 11, 15],
    [2, 5, 8, 12, 19],
    [3, 6, 9, 16, 22],
    [10, 13, 14, 17, 24],
    [18, 21, 23, 26, 30]
]

# 查找元素 9 的下标
# 输出 (0, 1) 和 (1, 0) 两种下标方案

解决方案

暴力枚举

最简单直接的方法就是对矩阵中的每对元素进行暴力枚举，时间复杂度为 $O(n^2)$。具体代码如下：

def find_pair(matrix, k):
    n = len(matrix)
    
    for i in range(n):
        for j in range(n):
            if i != j:
                if matrix[i][j] + matrix[j][i] == k:
                    return (i, j)
    
    return None

双指针

对于一个已经排序的一维数组，我们可以使用双指针的方法实现时间复杂度为 $O(n)$ 的查找算法。同样的道理，我们可以对矩阵进行排序，然后使用双指针的方法实现时间复杂度为 $O(n)$ 的查找算法。具体代码如下：

def find_pair(matrix, k):
    n = len(matrix)
    
    for i in range(n):
        left, right = 0, n - 1
        while left < right:
            if matrix[i][left] + matrix[i][right] == k:
                return (i, left), (i, right)
            elif matrix[i][left] + matrix[i][right] < k:
                left += 1
            else:
                right -= 1
    
    return None

二分查找

同样的道理，我们还可以对矩阵的每一行进行二分查找。对于每一行，如果要查找元素 $k$，先使用二分查找确定 $k$ 应该插入的位置，然后再向前、向后查找是否存在与 $k$ 计算结果相等的元素。具体代码如下：

import bisect

def find_pair(matrix, k):
    n = len(matrix)
    
    for i in range(n):
        pos = bisect.bisect_left(matrix[i], k)
        left, right = 0, pos - 1
        while left < right:
            if matrix[i][left] + matrix[i][right] == k:
                return (i, left), (i, right)
            elif matrix[i][left] + matrix[i][right] < k:
                left += 1
            else:
                right -= 1
        left, right = pos, n - 1
        while left < right:
            if matrix[i][left] + matrix[i][right] == k:
                return (i, left), (i, right)
            elif matrix[i][left] + matrix[i][right] < k:
                left += 1
            else:
                right -= 1
    
    return None

总结

矩阵查找问题是一类常见的问题，可以使用多种算法实现。在实际场景中，我们需要根据具体情况和数据规模选择适当的算法，以获得更好的效率和更短的运行时间。