使用对数恒等式的大数阶乘

在计算大数的阶乘时，我们通常会遇到计算机的数据类型限制、计算复杂度高等问题。但是，使用对数恒等式，我们可以将高阶乘问题转化为对数乘法，从而有效地减小计算复杂度。

对数恒等式

对数恒等式是指：对于任何正数 $x$ 和 $y$，以及任意基数 $b$，都有以下恒等式成立：

$$ \log_b(xy) = \log_b(x) + \log_b(y) $$

这意味着，我们可以通过将乘法转化为加法，来计算大数的乘积。

大数阶乘

在计算大数阶乘时，我们可以将阶乘转化为对数乘法的形式。例如，$n!$ 可以写成：

$$ n! = \prod_{i=1}^n i = \prod_{i=1}^n e^{\log(i)} = e^{\sum\limits_{i=1}^{n} \log(i)} = e^{\ln(n!)} $$

其中，$e$ 表示自然对数的底数。

因此，我们可以通过计算 $\ln(n!)$，并使用对数恒等式将计算复杂度从阶乘级别降到对数级别。

示例代码

import math

def log_factorial(n):
    result = 0
    for i in range(1, n+1):
        result += math.log(i)
    return result

n = 1000
log_fac = log_factorial(n)
fac = math.exp(log_fac)

print(f"{n}! = {fac}")

在上述代码中，我们首先定义了一个函数 log_factorial(n)，该函数使用了对数恒等式来计算 $\ln(n!)$，并返回计算结果。然后，我们使用 math.exp() 函数将计算结果转化为阶乘的值，并输出结果。

注意，在计算较大的阶乘时，可能会因为计算机的数据类型限制导致结果不准确。此时，我们可以使用高精度计算库，如 decimal、mpmath 等来获得更精确的计算结果。