通过反转最多一个子阵列来最大化非递减子序列的长度

本文介绍了如何通过反转最多一个子阵列来最大化非递减子序列的长度。该算法的时间复杂度为 $O(n)$。

问题描述

给定一个长度为 $n$ 的序列 $a_1, a_2, \ldots, a_n$ ，你可以通过反转最多一个子区间 $[l, r]$ ，使得反转后的序列 $a'$ 为非递减的。求反转后 $a'$ 的最长长度。

解法

我们考虑维护以下两个变量：

• $s$: 当前的最长非递减子序列长度；
• $f$: 当前的最长结尾为 $a_i$ 的非递减子序列长度。

具体地，我们用 $f_i$ 表示以第 $i$ 个元素为结尾的最长非递减子序列，用 $s$ 表示当前最长非递减子序列长度。对于每个位置 $i$ ，我们依次更新 $s$ 和 $f_i$ 。如果存在一个位置 $j$ 使得 $a_j > a_{j+1}$ ，我们可以令 $[j+1, i]$ 为一个子区间并将其翻转。这相当于将 $[j+1, i]$ 这个子序列逆转，并将其中的元素插入到非递减子序列中。这一过程可以被看做是在 $[j+1, i]$ 子区间中找到它的最长非严格单调上升子序列，并将其反转。

更新 $s$ 和 $f_i$ 的具体做法如下：

• 如果 $a_i \ge a_{i-1}$ ，则 $f_i = f_{i-1} + 1$ ；
• 否则，令 $k$ 为满足 $a_{k-1} < a_i \le a_k$ 的最小下标（显然 $k > 1$ ），则 $f_i = f_{k-1} + 1$ ；
• 最后，更新 $s = \max{s, f_i}$ 。

算法实现：

def solve(a):
    n = len(a)
    s, f = 1, 1
    ans = 1
    for i in range(1, n):
        if a[i] >= a[i-1]:
            f += 1
        else:
            k = bisect_left(a, a[i], 0, i)
            f = f - (k-1) + 1
        s = max(s, f)
        ans = max(ans, s)
    return ans

性能

该算法的时间复杂度为 $O(n)$ ，空间复杂度为 $O(n)$ 。实现代码中使用了 bisect_left 函数，因此需要额外导入 bisect 模块。

参考文献

• 力扣（LeetCode）第 795 题