由 N 个盒子组成的不同楼梯的总数

有 N 个盒子排成一行，现在需要将这些盒子组成一个楼梯，每一层楼梯至少有一个盒子，而且每一层楼梯盒子数量都比下一层楼梯盒子数量多。问有多少种不同的楼梯方案？

本问题属于组合数学中组合问题的一个经典例题，可以使用动态规划的思想进行求解。

动态规划算法

我们定义 $f_{i,j}$ 表示使用前 $i$ 个盒子组成 $j$ 层楼梯的不同方案数。考虑第 $i$ 个盒子的作用，可以分为两种情况：

1. 直接作为一层楼梯的最后一个盒子。

2. 作为一层楼梯的一个盒子，那么在前 $i-1$ 个盒子中就必须选择一个数量不大于 $i-1$ 的盒子组成 $j-1$ 层楼梯。

因此可以列出状态转移方程：

$$ f_{i,j}=f_{i-1,j-1}+\sum_{k=1}^{i-1} f_{k,j-1} $$

其中 $\sum_{k=1}^{i-1} f_{k,j-1}$ 表示将前 $i-1$ 个盒子中的一个数量不大于 $i-1$ 的盒子作为当前层楼梯的最后一个盒子，前面的盒子组成 $j-1$ 层楼梯的方案数之和。

初始状态为 $f_{i,1}=1$，即使用前 $i$ 个盒子组成 1 层楼梯的方案数为 1。

最终答案为 $\sum_{i=1}^{N} f_{i, N}$，即使用前 $i$ 个盒子组成 $N$ 层楼梯的方案数之和。

以下为使用 Python 3 实现的代码：

def staircase_count(n: int) -> int:
    f = [[0] * (n + 1) for _ in range(n + 1)]
    for i in range(1, n + 1):
        f[i][1] = 1
    for i in range(2, n + 1):
        for j in range(2, n + 1):
            f[i][j] = f[i - 1][j - 1] + sum(f[k][j - 1] for k in range(1, i))
    return sum(f[i][n] for i in range(1, n + 1))

复杂度分析

该算法使用了二重循环，时间复杂度为 $O(N^3)$。空间复杂度为 $O(N^2)$。实际运行效率较低，但对于 $N$ 较小的情况下可以接受。