总和等于 K 的最小斐波那契项

斐波那契数列是一个非常有趣的数列，每一个数都是前两个数之和，即 $F_{n} = F_{n-1} + F_{n-2}$，其中 $F_0 = 0$，$F_1 = 1$。

现在有一个正整数 K，你需要找到一个数 n，使得 $F_n$ 是斐波那契数列中最小的满足 $F_n \geq K$ 的数。

例如，当 K = 15 时，满足条件的最小n为 7，因为 $F_7 = 13$，$F_8 = 21 > 15$。

下面将介绍两种解决方案。

方法一：暴力枚举

最朴素的解法当然是暴力枚举，从 $F_0$ 开始，依次计算 $F_1, F_2, ...$ 直到找到第一个数 $F_n \geq K$。

def find_fibonacci_num(K):
    previous = 0
    current = 1
    while current < K:
        next_num = previous + current
        previous = current
        current = next_num
    return current

这个方法的时间复杂度是 $O(K)$，由于斐波那契数列增长非常迅速，因此在 K 较大的情况下运行时间将非常长。

方法二：二分查找

我们可以先找到斐波那契数列中最小的满足 $F_n > K$ 的数 $F_m$。接下来我们只需要在 $F_{m-1}$ 和 $F_m$ 之间进行二分查找，即可找到最小的满足 $F_n \geq K$ 的数。

首先，我们可以使用以下公式来计算第 n 项斐波那契数：

$$ F_n = \frac{1}{\sqrt{5}} \left( \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right)^n - \frac{1}{\sqrt{5}} \left( \frac{1-\sqrt{5}}{2} \right)^n $$

同时，我们知道 $F_n$ 是随着 n 增大不断增长的，因此对于任意 $n > 0$，都有 $F_n > n$。

因此，我们可以从 n = 0 开始，依次计算 $F_n$ 直到找到最小的 $n$ 满足 $F_n > K$。具体实现如下：

def find_fibonacci_num(K):
    if K <= 0:
        return 0
    n = 0
    while True:
        fn = int((1/math.sqrt(5)) * (((1+math.sqrt(5))/2)**n - ((1-math.sqrt(5))/2)**n))
        if fn > K:
            break
        n += 1
    # 此时 F_n > K，因此我们需要进行二分查找
    left = max(0, n-1)
    right = n
    while left < right:
        mid = left + (right-left)//2
        if int((1/math.sqrt(5)) * (((1+math.sqrt(5))/2)**mid - ((1-math.sqrt(5))/2)**mid)) >= K:
            right = mid
        else:
            left = mid + 1
    return int((1/math.sqrt(5)) * (((1+math.sqrt(5))/2)**left - ((1-math.sqrt(5))/2)**left))

这个方法的时间复杂度为 $O(\log K)$，在 K 较大的情况下将比暴力枚举快很多。

以上是两种解决方案，根据实际情况选择合适的方法。