求数组中总和恰好等于 k 的子数组的数量

在计算机编程中，经常需要求一个数组中恰好满足一定条件的子数组的数量，其中一种情况就是求数组中总和恰好等于 k 的子数组的数量。本文将介绍如何使用两种方法来解决这个问题：暴力枚举和前缀和。

方法一：暴力枚举

思路

对于一个长度为 n 的数组，我们可以枚举其所有可能的子数组，计算它们的总和，如果有恰好等于 k 的，就累加计数器。

代码实现

def count_subarrays(arr, k):
    count = 0
    n = len(arr)
    for i in range(n):
        for j in range(i, n):
            if sum(arr[i:j+1]) == k:
                count += 1
    return count

时间复杂度

该方法的时间复杂度为 $O(n^3)$，其中 $n$ 是数组的长度。因为需要三重循环枚举子数组，所以在数据规模较大时会超时。

方法二：前缀和

思路

我们可以先求出数组的前缀和，然后枚举所有可能的子数组，计算它们的前缀和之差，如果有恰好等于 k 的，就累加计数器。

代码实现

def count_subarrays(arr, k):
    count = 0
    n = len(arr)
    prefix_sum = [0] * (n+1)
    for i in range(1, n+1):
        prefix_sum[i] = prefix_sum[i-1] + arr[i-1]
    for i in range(1, n+1):
        for j in range(i, n+1):
            if prefix_sum[j] - prefix_sum[i-1] == k:
                count += 1
    return count

时间复杂度

该方法的时间复杂度为 $O(n^2)$，其中 $n$ 是数组的长度。因为使用了前缀和，只需要两重循环枚举子数组，所以在数据规模较大时能够通过。

综上，我们可以使用暴力枚举或前缀和来计算数组中总和恰好等于 k 的子数组的数量。其中前缀和是一种更加高效的方法。