用1填充整个矩阵所需的最短时间

问题描述

给定一个 $m\times n$ 的矩阵，矩阵中的元素为 0 或 1。要求用 1 填充整个矩阵，每个 1 可以向上、下、左、右四个方向移动，但不能移动到矩阵外或移动到 0 所在的位置。请问将整个矩阵填满所需的最短时间是多少？

分析与解法

这是一道比较典型的图论问题，可以使用广度优先搜索（BFS）来解决。我们可以从矩阵中所有的 1 开始，以它们为起点进行 BFS，求出每个 0 到每个 1 的最短距离，然后取其中的最大值作为答案即可。

具体实现时，我们可以用一个队列来维护 BFS，并用一个二维数组 $dist$ 来记录每个位置距离最近的 1 的距离。初始时，所有的 1 都入队，并将它们的 $dist$ 置为 0。然后开始 BFS，每次从队首取出一个位置，并将它周围的 0 入队，并更新它们的 $dist$。当队列为空时，所有的位置的最短距离就求出来了。

假设矩阵中共有 $s$ 个位置，其中 $k$ 个位置为 1，则时间复杂度为 $O(s+k)$，空间复杂度也是 $O(s+k)$。实际上，由于 BFS 的宽度优先特性，矩阵中的位置不会被重复访问，因此时间和空间复杂度的常数比较小。

下面是 Python3 的代码实现：

from collections import deque

def fill_matrix(matrix):
    if not matrix or not matrix[0]:
        return 0
    m, n = len(matrix), len(matrix[0])
    dist = [[-1]*n for i in range(m)]
    q = deque()
    for i in range(m):
        for j in range(n):
            if matrix[i][j]:
                dist[i][j] = 0
                q.append((i, j))
    while q:
        i, j = q.popleft()
        for di, dj in ((-1, 0), (1, 0), (0, -1), (0, 1)):
            ni, nj = i+di, j+dj
            if 0<=ni<m and 0<=nj<n and dist[ni][nj]<0:
                dist[ni][nj] = dist[i][j] + 1
                q.append((ni, nj))
    return max(max(row) for row in dist)

# 测试代码
matrix = [[0,1,0,1,1],
          [0,1,1,1,0],
          [1,1,0,0,1]]
print(fill_matrix(matrix))  # 2

总结

这道题虽然看起来比较简单，但是考虑到它是一道图论问题，使用 BFS 来解决是一个不错的选择。BFS 的时间和空间复杂度虽然不是最优的，但是对于本题的数据规模已经足够了。除了 BFS 以外，还可以使用 DFS 来解决，但是由于 DFS 的深度优先特性，可能会导致递归栈溢出，因此需要手动维护一个栈。