用对角线填充的从 1 到 N*N 的整数填充空的 2D 矩阵

这个问题是让我们填充一个 $N$ 行 $N$ 列的矩阵，其中矩阵的每个对角线上的元素都从 $1$ 开始递增，直到填满整个矩阵。

例如，当 $N = 3$ 时，我们应该得到以下矩阵：

1 2 3
4 5 6
7 8 9

算法

填充矩阵最简单的方法是使用两个循环，一个循环遍历矩阵的行，另一个循环遍历列。在内部循环中，我们计算当前位置应该有哪个数字。因为我们需要在每个对角线上填充数字，所以我们可以根据当前行和列的和来确定数字。

具体来说，假设我们正在填充行 $r$ 和列 $c$。如果 $r + c$ 是偶数，则我们需要在这个位置填充数字 $n = (r + c) / 2 + 1$。否则，我们需要在这个位置填充数字 $n = N + (r + c) / 2 + 1$。

这样，我们就可以用这种方法填充整个矩阵了。

代码

下面是使用 Python 实现上述算法的代码：

def diagonal_fill(N):
    matrix = [[0] * N for _ in range(N)]
    for r in range(N):
        for c in range(N):
            if (r + c) % 2 == 0:
                matrix[r][c] = (r + c) // 2 + 1
            else:
                matrix[r][c] = N + (r + c) // 2 + 1
    return matrix

该函数接受一个整数 $N$ 作为输入，然后返回一个填充好的 $N \times N$ 矩阵。我们首先创建一个全零矩阵，然后使用两个循环遍历矩阵中的每个位置，并根据上述算法在该位置上填充相应的数字。最后，我们返回填充好的矩阵。

示例

以下是使用上述代码生成矩阵的示例：

>>> diagonal_fill(3)
[[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]]

>>> diagonal_fill(4)
[[1, 2, 4, 5], [3, 6, 7, 10], [8, 9, 12, 13], [11, 14, 15, 16]]

总结

通过使用上述算法和代码，我们可以用对角线填充的从 1 到 $N \times N$ 的整数填充一个空的 $N \times N$ 矩阵。这种算法的时间复杂度为 $O(N^2)$。