Wedderburn–Etherington 数

简介

Wedderburn–Etherington 数是一个有趣的整数序列，它可以通过一种简单的递归方法来生成。该方法是在前一个数的基础上插入一个新的数，从而形成新的序列。这个数列最早由 Wedderburn 和 Etherington 在 1934 年引入，并被广泛应用于组合数学和密码学领域。

生成方法

Wedderburn–Etherington 数的生成方法如下：

1. 序列的第一个数是 1。
2. 对于第 n 个数，根据以下规则生成：
   • 如果 n 是偶数，则第 n 个数等于前一个数加上当前 n 的所有因子之和。
   • 如果 n 是奇数，则第 n 个数等于前一个数减去当前 n 的所有因子之和。

根据该方法，Wedderburn–Etherington 数的前几个数是：1, 2, 4, 6, 10, 14, 20, 26, 36, 46, ...

应用

Wedderburn–Etherington 数在组合数学中有广泛的应用，特别是在图论和二叉树相关的问题中。它们可以表示许多图和树的性质，例如连通性、直径和宽度等，并且可以提供有关图和树的结构和性质的重要信息。

此外，Wedderburn–Etherington 数还在密码学领域中使用，特别是在基于序列的密码算法中。由于其独特的生成方法和分布特性，Wedderburn–Etherington 数可以用作加密密钥或伪随机数生成器的种子。

代码实现

以下是一个简单的 Python 代码片段，用于生成指定数量的 Wedderburn–Etherington 数：

def generate_wedderburn_etherington_numbers(n):
    we_numbers = [1]
    for i in range(2, n + 1):
        if i % 2 == 0:
            we_numbers.append(we_numbers[i // 2 - 1] + sum(all_factors(i)))
        else:
            we_numbers.append(we_numbers[i // 2 - 1] - sum(all_factors(i)))
    return we_numbers

def all_factors(n):
    factors = []
    for i in range(1, n // 2 + 1):
        if n % i == 0:
            factors.append(i)
    factors.append(n)
    return factors

n = 10
wedderburn_etherington_numbers = generate_wedderburn_etherington_numbers(n)
print(wedderburn_etherington_numbers)

请注意，上述代码片段使用了一个辅助函数 all_factors 来计算给定数的所有因子。

结论

Wedderburn–Etherington 数是一个有趣且具有广泛应用的整数序列。通过递归生成方法，这个序列可以用于图论、组合数学和密码学等多个领域。希望本介绍能够帮助程序员更好地理解 Wedderburn–Etherington 数，并在相关的应用中有所启发。