矩阵中回文路径的数量

简介

在一个给定的矩阵中，从任意一个起始点出发，经过若干个格子（可以横向或纵向移动），最终到达一个目标点的路径称为一条路径。如果这条路径上同时满足横向或纵向不论方向，都是回文序列，则称这条路径为一条回文路径。现在需要统计矩阵中所有从左上角到右下角的回文路径数量。

例如，下面这个示例矩阵中，存在两条从左上角到右下角的回文路径：

a b c e
s f c s
a d e e

路径1：abcfeesaee

路径2：abcdccbaee

本文将介绍如何通过动态规划来解决此问题。

算法思路

可以使用动态规划的思想来解决此问题。定义一个3维数组dp[i][j][k]，其中dp[i][j][k]表示从矩阵中第i行第j列的字符开始（包括它自己），向下或向右的k（1表示横向，2表示纵向）长度的所有回文路径数量。显然，dp[1][1][i]表示从矩阵的左上角出发，长度为i的所有回文路径数量。

根据回文的定义，可以得知，从dp[i][j][k]可以转移到dp[i+1][j][k+1]和dp[i][j+1][k+1]。具体地，如果当前的字符等于(i+k-1, j+k-1)位置上的字符，则可以在dp[i+1][j][k+1]或dp[i][j+1][k+1]的路径后面添加这个字符；如果当前的字符不等于(i+k-1, j+k-1)位置上的字符，则不能添加这个字符。因此，可以得到状态转移方程：

$$ dp[i][j][k]= \begin{aligned} & dp[i+1][j][k+1] \qquad if \quad matrix[i+k-1][j+k-1]=matrix[i][j] \

• & dp[i][j+1][k+1] \qquad if\quad matrix[i+k-1][j+k-1]=matrix[i][j] \
• & 0 \qquad otherwise \end{aligned} $$

初始化dp数组，当k=1时，dp[i][j][1]=1（因为长度为1的回文路径只有自己一个字符）。最终计算dp[1][1][n]即可得到从左上角到右下角的所有回文路径数量。

示例代码

def palindrome_path(matrix):
    n = len(matrix)
    m = len(matrix[0])
    dp = [[[0 for _ in range(n+1)] for _ in range(m+1)] for _ in range(3)]
    for i in range(1, n+1):
        for j in range(1, m+1):
            if matrix[i-1][j-1] == matrix[i-1][j]:
                dp[1][i][j] = 1
            if matrix[i-1][j-1] == matrix[i][j-1]:
                dp[2][i][j] = 1
    for k in range(3, n+m+1):
        for i in range(k-m if k-m>0 else 1, k-n if k-n>0 else m+1):
            c = 0
            if i+k-n-1 <= m and matrix[i-1][i+k-n-2] == matrix[i+k-n-2][i-1]:
                c += dp[1][i][i+k-n-1]
            if i+k-m-1 <= n and matrix[i-1][i+k-m-2] == matrix[i+k-m-2][i-1]:
                c += dp[2][i][i+k-m-1]
            dp[1][i][i+k-n], dp[2][i][i+k-m] = c, c
    return dp[1][1][-1] + dp[2][1][-1]

复杂度分析

时间复杂度：$O(n^3)$，其中n为矩阵的边长。需要计算n层循环，每层循环的时间复杂度为$O(n^2)$。

空间复杂度：$O(n^3)$，需要存储一个3维数组，每一维的长度为$n+1$。