矩阵中的回文路径数

简介

在一个矩阵中，寻找回文路径是一个常见的问题。回文是指正着读和倒着读都一样的字符串。在矩阵中，我们可以从任意一个位置出发，走上、下、左、右四个方向，如果经过的路径是一个回文，那么这条路径就是一个回文路径。本题要求我们找出矩阵中的所有回文路径，并返回路径的数量。

解法

动态规划

使用动态规划可以很方便地解决此问题。设 $dp_{i,j,k,l}$ 表示从 $(i,j)$ 出发，到 $(k,l)$ 形成的路径是否为回文。那么当 $(i,j)$ 和 $(k,l)$ 对应的元素相等时，$dp_{i,j,k,l}$ 是 True 当且仅当满足以下任意一种情况：

• $(i+1,j,k-1,l)$ 形成的路径是回文；
• $(i+1,j,k,l-1)$ 形成的路径是回文；
• $(i,j+1,k-1,l)$ 形成的路径是回文；
• $(i,j+1,k,l-1)$ 形成的路径是回文。

即，我们可以通过已经算出的 $dp$ 值来计算新的 $dp$ 值。递推公式如下：

$$ dp_{i,j,k,l}=(i,j) \begin{cases} True, & i=k, j=l \ False, & i>k \text{或} j>l \ dp_{i+1,j,k-1,l}, & a_{i,j}=a_{k,l} \ dp_{i+1,j,k,l-1}, & a_{i,j}=a_{k,l} \ dp_{i,j+1,k-1,l}, & a_{i,j}=a_{k,l} \ dp_{i,j+1,k,l-1}, & a_{i,j}=a_{k,l} \ False, & otherwise \ \end{cases} $$

初始状态是对角线上的 $dp$ 值都是 True。我们可以从左下到右上遍历矩阵，按照递推公式将所有 $dp$ 值求出来。最后统计所有为 True 的 $dp$ 值即为回文路径的数量。

这个算法的时间复杂度是 $O(n^4)$，空间复杂度也是 $O(n^4)$，其中 $n$ 是矩阵的行数或列数。

回溯法

另一种解法是使用回溯法。我们可以从任意一个位置出发，走上、下、左、右四个方向，找到所有符合回文要求的路径。具体流程如下：

1. 从矩阵中任意取一个元素，将其放入当前路径中。
2. 如果当前路径已经形成了回文，则累加回文路径数，并继续走下去；
3. 否则，回溯到上一个跨度点。

我们只需要关心回文路径的中心点和半径。中心点可以从矩阵中的每个元素开始，半径从 1 开始递增。

这个算法的时间复杂度是 $O(n^4)$，空间复杂度是 $O(n^2)$，其中 $n$ 是矩阵的行数或列数。

总结

本文介绍了两种算法解决“矩阵中的回文路径数”问题。动态规划算法的时间复杂度和空间复杂度都是 $O(n^4)$，回溯法的时间复杂度也是 $O(n^4)$，空间复杂度为 $O(n^2)$。在实际应用中，可以根据具体情况选择使用哪种算法。