最小化由唯一元素组成的 K 个等长子集的不兼容总和

简介

这是一个关于最小化由唯一元素组成的 K 个等长子集的不兼容总和的算法。该算法主要解决一个问题：如何在将一个集合划分成若干个子集时，使这些子集之间的不兼容总和最小。当集合中的元素很多时，这个问题会非常棘手。因此，该算法在实际应用中非常有用。

算法原理

设 $V$ 为要划分的集合，$W$ 为子集的长度，$K$ 为需要划分成的子集的个数。该算法的整体思路是利用动态规划思想，用 $f(i, j)$ 表示前 $i$ 个元素已经被划分成了 $j$ 个子集，并且使得这 $j$ 个子集中的元素都是不同的时，不兼容总和的最小值。

考虑 $f(i, j)$ 的计算过程，可以发现它的值可以由两部分决定：前 $i-1$ 个元素已经被划分成了 $j$ 个子集时的最小不兼容总和 $f(i-1, j)$，以及将第 $i$ 个元素放入已经划分好的 $j$ 个子集中的任意一个所造成的不兼容值 $g(k)$。需要注意的是，对于每个子集而言，它们的元素都是不同的，因此需要通过状态压缩的方式记录每个子集中已经出现过的元素。

因此，可以得到状态转移方程：

$$f(i, j) = \min_{1 \leq k \leq j} { f(i-1, j-k) + g_{k}(i) }$$

上述方程中，$g_k(i)$ 表示将第 $i$ 个元素放入第 $k$ 个子集中所造成的不兼容值，可以用一个二进制表示子集中已经出现过的元素。

具体地，可以用 $t(k)$ 表示第 $k$ 个子集的元素的状态，其中第 $i$ 位为 $1$ 表示第 $i$ 个元素已经放入该子集中。因此，

$$g_k(i) = \begin{cases} 0 &\mbox{if}\ t(k) & 2^{a_i-1} = 0 \ 1 &\mbox{if}\ t(k) & 2^{a_i-1} > 0 \end{cases}$$

其中，$a_i$ 表示第 $i$ 个元素在原始集合中的下标。

最终的解就是 $f(n, K)$，其中 $n$ 表示集合中元素的个数。

通过以上的动态规划方程和转移过程，就能求得最小化由唯一元素组成的 K 个等长子集的不兼容总和。

代码示例

以下代码演示了如何使用动态规划求解最小化不兼容总和的问题：

def min_sum_of_incompatibility(nums: List[int], k: int) -> int:
    n = len(nums)
    w = n // k
    f = [[float('inf')] * (k + 1) for _ in range(n + 1)]
    f[0][0] = 0
    t = [0] * (k + 1)

    for i in range(1, n+1):
        for j in range(1, k+1):
            f[i][j] = min(f[i-1][j-k] + t[k] for k in range(1, j+1))
            if i % w == 0:
                t = [0] * (k + 1)
            for p in range(1, j+1):
                if not t[p] & (1 << nums[i-1]):
                    t[p] |= 1 << nums[i-1]
                    break

    return f[n][k]

需要注意的是，在计算 $f(i, j)$ 的过程中，需要在每个子集中记录已经出现的元素。代码中，使用 $t(k)$ 表示第 $k$ 个子集的元素的状态，其中第 $i$ 位为 $1$ 表示第 $i$ 个元素已经放入该子集中。 由于 $n$ 可能不能整除 $k$，因此在代码中需要按照 $w=n/k$ 的长度对原始序列进行分块。