最小化由相同索引元素的乘积组成的所有子数组的总和

问题背景

给定一个长度为 n 的数组 nums，定义 sum(i,j) 为元素下标从 i 到 j（包含 i 和 j）的子数组中，所有元素相乘的结果。

例如，nums = [1,2,3,4]，则 sum(0,2) = 1*2*3 = 6。

现在，你需要编写一个函数，使得所有由相同索引元素的乘积组成的子数组总和最小。

解法说明

为了使所有由相同索引元素的乘积组成的子数组总和最小，我们需要寻找一个数学模型来描述这个问题。

按照题目要求，由相同索引元素的乘积组成的子数组可以表示为：$$ nums_i^k=\prod_{j=i}^{i+k-1}nums_j $$ 其中 $i$ 表示开始的下标，$k$ 表示子数组的长度。

则所有由相同索引元素的乘积组成的子数组的总和可以表示为：$$ \sum_{i=0}^{n-1}\sum_{k=1}^{n-i}\sum_{j=i}^{i+k-1}nums_j=\sum_{i=0}^{n-1}\sum_{k=1}^{n-i}nums_i^k\times k $$

接下来的问题就转化为如何快速计算 $nums_i^k$ 的值。

这里有两种方法。

方法一：暴力枚举

我们可以直接使用两层循环求出 $nums_i^k$ 的值。

def get_num(nums, i, k):
    res = 1
    for j in range(i, i+k):
        res *= nums[j]
    return res

然后可以使用三层循环来计算所有由相同索引元素的乘积组成的子数组的总和。

def min_same_index_product_subarray(nums):
    res = 0
    n = len(nums)
    for i in range(n):
        for k in range(1, n-i+1):
            num = get_num(nums, i, k)
            res += num*k
    return res

时间复杂度：$O(n^3)$。

方法二：使用前缀积

我们可以先预处理出数组的前缀积 prefix。

则 $nums_i^k$ 可以表示为：$$ nums_i^k=\frac{prefix_{i+k-1}}{prefix_{i-1}} $$

这是因为：$$ \begin{aligned} \prod_{j=i}^{i+k-1}nums_j&=\frac{\prod_{j=0}^{i+k-1}nums_j}{\prod_{j=0}^{i-1}nums_j}\ &=\frac{prefix_{i+k-1}}{prefix_{i-1}} \end{aligned} $$

则所有由相同索引元素的乘积组成的子数组的总和可以表示为：$$ \begin{aligned} \sum_{i=0}^{n-1}\sum_{k=1}^{n-i}nums_i^k\times k&=\sum_{i=0}^{n-1}\left(\frac{prefix_{i+k-1}}{prefix_{i-1}}\times k\right){k=1}^{n-i}\ &=\sum{i=0}^{n-1}\left(\frac{prefix_{n-1}-prefix_{i-1}}{prefix_{i-1}-prefix_{i-2}}\right)_{k=1}^{n-i} \end{aligned} $$

可以使用两层循环来计算所有由相同索引元素的乘积组成的子数组的总和。

def min_same_index_product_subarray(nums):
    res = 0
    n = len(nums)
    prefix = [1]*n
    for i in range(1, n):
        prefix[i] = prefix[i-1]*nums[i-1]
    for i in range(n):
        for k in range(1, n-i+1):
            res += k*((prefix[i+k-1]-prefix[i-1])//(prefix[i-1]-prefix[i-2] if i>1 else 1))
    return res

时间复杂度：$O(n^2)$。

总结

本文介绍了一个数学模型来求解最小化由相同索引元素的乘积组成的所有子数组的总和的问题，并给出了两种求解方法。

方法一是暴力枚举，时间复杂度为 $O(n^3)$。

方法二使用前缀积，时间复杂度为 $O(n^2)$。