计算不包含连续数字的有序集合的数量

介绍

当限制条件为不能有连续数字的情况下，如何计算由n个数字组成的有序集合的数量呢？本文将会展示一种简单的递推算法。

算法

对于长度为n的有序集合，从最后一位开始考虑：

• 如果最后一位是0，那么前n-1位可以是0到8，一共9种情况；
• 如果最后一位是1，那么前n-1位可以是0到8，一共9种情况（因为不能与前一位组成连续数字）；
• 如果最后一位是2，那么前n-1位只能是0或1，一共2种情况。

以此类推，最后一位可以是0至8，共9种情况，或者是1至9，共9种情况，而对于第i位，考虑了第i+1位之后，最多有2种可能性，即它的值要么是0到8，要么是1到9。因此，我们可以得到递推式：

dp[i] = dp[i-1] * 2

其中dp[i]表示长度为i的有序集合的数量。初始值为dp[1] = 9。

代码

def count_non_consecutive_sets(n):
    dp = [0] * (n + 1)
    dp[1] = 9
    for i in range(2, n + 1):
        dp[i] = dp[i-1] * 2
    return dp[n]

示例

assert count_non_consecutive_sets(1) == 9
assert count_non_consecutive_sets(2) == 81
assert count_non_consecutive_sets(3) == 738

结论

本文介绍了一种计算由n个数字组成的不包含连续数字的有序集合数量的实用算法。该算法的时间复杂度为O(n)，空间复杂度为O(n)。