最佳二叉搜索树 | DP-24

简介

最佳二叉搜索树（Optimal Binary Search Tree）是一种用来存储一组关键字的二叉搜索树，其期望搜索代价最小。所谓搜索代价，指的是从根节点开始搜索某个关键字时需要访问的节点次数。最佳二叉搜索树不一定是唯一的，但是它的期望搜索代价最小。

原理

假设有 n 个不同的关键字，分别为 k1, k2, ..., kn，并且已知它们被访问的概率分别为 p1, p2, ..., pn。根据二叉搜索树的性质，可以将这 n 个关键字分别放在根节点、左子树或右子树中。由此得到一颗二叉树，对应着 n+1 个子区间（空区间也算），其中第 i 个子区间包含 ki 到 ki+1-1 之间的关键字。设二叉搜索树的期望搜索代价为 COST[1, n]。那么，我们可以将 COST[1, n] 表示为以下递推式：

COST[i, j] = min(COST[i, k-1] + COST[k+1, j] + sum(pk,k,j)) (i <= k <= j)

其中 sum(pk,k,j) 表示从 ki 到 kj 的概率之和，也就是 ki、ki+1、...、kj 的概率之和。上述式子的含义是将关键字以 k 为根节点的子树放到整个二叉搜索树中，得到的期望搜索代价最小。

根据上述递推式，可以求出 COST[1, n]。二叉搜索树的期望搜索代价就是 COST[1, n]。

代码实现

以下是最佳二叉搜索树的实现：

def optimal_bst(p, q, n):
    # 维护二维数组 cost 和 root，其中 cost[i][j] 存储以 ki, ki+1, ..., kj 为关键字的最小搜索代价，
    # root[i][j] 表示最优子树的根
    cost = [[0 for _ in range(n)] for _ in range(n)]
    root = [[0 for _ in range(n)] for _ in range(n)]

    # 计算单个关键字的代价
    for i in range(n):
        cost[i][i] = q[i]

    # i 枚举子区间的长度
    for i in range(2, n+1):
        # j 枚举区间的起点
        for j in range(n-i+1):
            # 计算 cost[i][j]
            k_min = j
            k_max = j+i-1
            cost[j][j+i-1] = float("inf")
            for k in range(k_min, k_max+1):
                c = cost[j][k-1] + cost[k+1][j+i-1] + sum(p[j:j+i])
                if c < cost[j][j+i-1]:
                    cost[j][j+i-1] = c
                    root[j][j+i-1] = k

    return cost[0][n-1], root

总结

最佳二叉搜索树是一道经典的动态规划问题（DP-24），并且有很多实际应用。例如，在编译器的语法分析、文件系统的文件名查找、数据库索引等领域都有广泛的应用。掌握最佳二叉搜索树的原理以及代码实现，可以加深对动态规划算法的理解，同时也能够在实际开发中解决一些问题。