有效地计算矩阵的对角线之和

在线性代数中，矩阵的对角线是从左上角到右下角的连续线，对角线元素的和是矩阵的对角线和。我们可以通过有效的算法计算矩阵的对角线和。下面给出一些有用的提示。

暴力算法

计算矩阵的对角线和最简单的方法是使用暴力算法。使用双重循环遍历矩阵，并将每个对角线元素相加。这个算法的时间复杂度是 $O(n^{2})$。以下是Python实现的代码片段：

def diagonalSum(mat: List[List[int]]) -> int:
    res = 0
    n = len(mat)
    for i in range(n):
        res += mat[i][i]
        res += mat[i][n-i-1]
    if n % 2 == 1:
        res -= mat[n//2][n//2]
    return res

优化算法

我们可以使用单重循环来计算矩阵的对角线和。我们只需要遍历一次矩阵，并将每个对角线元素相加。以下是Python实现的代码片段：

def diagonalSum(mat: List[List[int]]) -> int:
    res = 0
    n = len(mat)
    for i in range(n):
        res += mat[i][i]
        res += mat[i][n-i-1]
    if n % 2 == 1:
        res -= mat[n//2][n//2]
    return res

向量化算法

我们还可以使用向量化算法计算矩阵的对角线和。向量化是将循环结构集成为单个表达式，从而实现更高效的计算方式。以下是Python实现的代码片段：

def diagonalSum(mat: List[List[int]]) -> int:
    res = 0
    n = len(mat)
    d1 = [mat[i][i] for i in range(n)]
    d2 = [mat[i][n-i-1] for i in range(n)]
    res = sum(d1) + sum(d2)
    if n % 2 == 1:
        res -= mat[n//2][n//2]
    return res

向量化算法比暴力算法和优化算法更高效，因为它将循环结构提取出来，这可以在Python中使用NumPy库轻松实现。

总之，以上是三种不同算法的示例，可以有效地计算矩阵的对角线和。向量化算法是最高效的解决方案。