📅 最后修改于: 2023-12-03 15:25:02.025000 🧑 作者: Mango
对于一个给定的数组，定义子数组的按位或（OR）操作为对于其中所有元素进行按位或运算的结果。考虑一个包含 $n$ 个非负整数的数组 $A$，定义一个子数组 $A[i...j]$ 的按位或（OR）值为 $A[i] \operatorname{or} A[i+1] \operatorname{or} \ldots \operatorname{or} A[j]$。计算有多少个子数组的按位或值大于或等于给定的整数 $K$。
最显然的算法是枚举所有子数组并计算按位或值，这需要 $O(n^2)$ 的时间复杂度。如果使用布尔运算或者哈希表，可以减少计算时间，但仍然需要 $O(n^2)$ 的时间复杂度。
下面为基于哈希表的优化算法：
num_subarrays_with_large_or(A, K):
n = len(A)
ret = 0
current_prefix_or = 0
prefixes = {0: 1}
for i in range(n):
current_prefix_or |= A[i]
for prefix, count in list(prefixes.items()):
if (current_prefix_or | prefix) >= K:
ret += count
prefixes[current_prefix_or] = prefixes.get(current_prefix_or, 0) + count
else:
prefixes[prefix] += count
return ret
复杂度为 $O(n \operatorname{log} w)$，其中 $w$ 为数据类型的位数，即通常为 32 或 64。
定义函数 $f(L, R, x)$ 表示数组 $A[L...R]$ 中有多少个子数组的按位或（OR）操作的结果大于等于 $x$。考虑如何求解 $f(L, R, x)$。
将数组 $A[L...R]$ 分成两半 $A[L...mid]$ 和 $A[mid+1...R]$，其中 $mid=(L+R)/2$。则对于任意 $i\in [L,R]$，若 $i\leq j\leq mid$，则有 $A[i] \operatorname{or} A[i+1] \operatorname{or} \dotsb \operatorname{or} A[j] \geq A[i] \operatorname{or} A[i+1] \operatorname{or} \dotsb \operatorname{or} A[mid]$；同理，若 $mid+1 \leq j \leq R$，则有 $A[i] \operatorname{or} A[i+1] \operatorname{or} \dotsb \operatorname{or} A[j] \geq A[mid+1] \operatorname{or} A[mid+2] \operatorname{or} \dotsb \operatorname{or} A[j]$。
故令 $S_L = A[L] \operatorname{or} A[L+1] \operatorname{or} \dotsb \operatorname{or} A[mid]$，$S_R = A[mid+1] \operatorname{or} A[mid+2] \operatorname{or} \dotsb \operatorname{or} A[R]$，则有 $f(L, R, x) = f(L, mid, x) + f(mid+1, R, x) - f(L, mid, S_R \operatorname{or} x - 1) - f(mid+1, R, S_L \operatorname{or} x - 1)$。其中第一部分统计 $A[L...mid]$ 中按位或值大于等于 $x$ 的子数组数目，第二部分统计 $A[mid+1...R]$ 中按位或值大于等于 $x$ 的子数组数目，第三部分统计 $A[L...mid]$ 中按位或值大于等于 $S_R \operatorname{or} (x-1)$ 的子数组数目，第四部分统计 $A[mid+1...R]$ 中按位或值大于等于 $S_L \operatorname{or} (x-1)$ 的子数组数目。注意第三、四部分是递归计算 $f(L, R, y)$ 的结果，其中 $y=S_R \operatorname{or} (x-1)$ 或 $y=S_L \operatorname{or} (x-1)$。
终止条件为 $L = R$ 时，若 $A[L] \geq x$ 则返回 1，否则返回 0。
算法的复杂度为 $O(n \operatorname{log} n \operatorname{log} w)$。
下面是该算法的 Python 代码实现：
def count_subarrays(A, x):
return _count_subarrays(A, 0, len(A)-1, x)
def _count_subarrays(A, L, R, x):
if L > R:
return 0
if L == R:
return int(A[L] >= x)
mid = (L + R) // 2
count = _count_subarrays(A, L, mid, x) + _count_subarrays(A, mid+1, R, x)
S_L, S_R = A[L], A[mid+1]
for i in range(L+1, mid+1):
S_L |= A[i]
if S_L >= x:
count += (i-L+1) * (R-mid)
break
for i in range(mid+2, R+1):
S_R |= A[i]
if S_R >= x:
count += _count_subarrays(A, L, i-1, S_R|x-1)
break
return count