在数组中查找 (x, y) 对的数量，使得 x^y > y^x | 2套

在给定的数组中，要求查找所有满足 x^y > y^x 的 (x, y) 数对并返回其数量。此种查找问题可采用多种解法，下面将给出两套不同的解题思路。

解题思路1

首先可以发现，当指数 y 增加时，异或运算器得到的值得到的值也将逐渐变大。因此，在任何用户给定的 x 和 y 中， 如果满足 x^y > y^x，则任何大于 y 的值也均满足 x^y > y^x。

考虑将原数组中的元素进行排序，得到数组 A。接下来，对于 A 中每个元素 x，利用二分查找的方法查找该元素对应的 满足 x^y > y^x 中 y 的取值范围。穷尽所有元素后，即得到了所有满足条件的数对。

以下是具体实现代码（Python）：

def binary_search(arr, val, l, r):
    while l <= r:
        mid = (l+r)//2
        if arr[mid] > val:
            r = mid - 1
        else:
            l = mid + 1
    return len(arr) - l

def count_pairs(a, n):
    a.sort()
    ans = 0
    for i in range(n):
        if a[i] == 0:
            continue
        ans += binary_search(a, a[i], i+1, n-1) if a[i] != 1 else n-i-1
    return ans

解题思路2

第二套可供参考的解法是基于数学方法。显然，问题的解决取决于 x 和 y 的大小关系。

根据两个正整数 x 和 y 满足 x^y > y^x 的必要条件，可得：

• 当 x = 1 时，对任何正整数 y，x^y 均大于 y^x，且满足条件的数对数量为 n-1。
• 当 y = 1 时，对任何正整数 x，x^y 均小于 y^x，且满足条件的数对数量为 0。
• 当 x、y > 1 且 x > y 时，有：x^y > y^x ⇔ y log x > x log y ⇔ log x / x > log y / y。

因此，我们只需统计满足 log x / x > log y / y 的 (x, y) 数对数量即可。

由于 log 函数是单调递增函数，因此可以固定 x 的取值为 i，枚举所有大于 i 的 y 取值，使得 log i / i > log y / y， 进而求得满足条件的数对数量。

具体实现如下（同样采用 Python）：

from math import log

def count_pairs(a, n):
    ans = 0
    for i in range(n):
        cnt = 0
        for j in range(i+1, n):
            if log(a[j])/a[j] > log(a[i])/a[i]:
                cnt += 1
        ans += cnt
    return ans

注意：此解法对于元素值为 1 和 0 的情况，需要进行单独考虑。