将 N 拆分为给定范围内 K 个数字的总和的方法数

介绍

本文中，我们将学习如何计算将正整数 N 拆分为给定范围内 K 个数字的总和的方法数。这是一个经典的组合问题，有多种方法可以解决。

问题描述

给定两个正整数 N 和 K，找出将 N 拆分为恰好 K 个数字的总和的所有可能方式的数量。

例如，当 N=5，K=3 时，有以下 5 种可能的拆分方式：

• 1+1+3
• 1+2+2
• 1+3+1
• 2+1+2
• 2+2+1

因此，将 N=5 拆分为恰好 K=3 个数字的总和的方法数为 5。

解决方案

动态规划

动态规划是解决本问题的经典算法。具体来说，我们可以使用一维数组 dp，其中 dp[i] 表示将正整数 i 拆分为恰好 K 个数字的总和的方式数。根据题目的要求，我们可以得到以下状态转移方程：

dp[i] = sum(dp[i-j]), 对于所有 1 <= j <= i 和 j <= i/K。

其中 sum(dp[i-j]) 表示将正整数 i-j 拆分为恰好 K-1 个数字的总和的方式数。

具体实现可以参考以下 Python 代码：

def count_ways(n: int, k: int) -> int:
    dp = [0] * (n + 1)
    dp[0] = 1
    for i in range(1, k + 1):
        for j in range(n, i - 1, -1):
            for x in range(1, j // i + 1):
                dp[j] += dp[j - i * x]
    return dp[n]

时间复杂度为 O(N^2 * K)。

数学方法

我们还可以使用数学方法来解决本问题。具体来说，我们可以使用数学推导和组合数学的知识，得到以下公式：

count(n, k) = C(n-1, k-1).

其中 C(n,m) 表示从 n 个元素中选择 m 个元素的组合数，即 C(n,m) = n! / (m! * (n-m)!).

具体实现可以参考以下 Python 代码：

import math

def count_ways(n: int, k: int) -> int:
    return math.comb(n - 1, k - 1)

时间复杂度为 O(1)。

结论

本文介绍了将正整数 N 拆分为给定范围内 K 个数字的总和的方法数的两种解决方案：动态规划和数学方法。这两种方法各有优缺点，具体选择应根据实际情况而定。