将 N 表示为 2 的恰好 K 次幂之和 |设置 3

在日常编程及算法题中，我们经常需要将一个数 $N$ 表示为若干个 2 的正整数次幂之和。比如 $N=11$，则 $11=2^3+2^1+2^0$。

更进一步的，有时候我们要求出 $N$ 可以表示为 $2^k$ 次幂之和的个数 $K$。比如 $N=11$，则 $11$ 可以表示为 $2$ 次幂之和的个数为 $3$，即 $11=2^3+2^1+2^0$。

在这篇文章中，我们将介绍两种方法，一种是暴力枚举，一种是使用动态规划（DP）求解。

方法一：暴力枚举

首先，我们可以尝试暴力枚举所有可能的 $K$，然后用穷举法查找所有可能的组合。

假设我们已经确定了 $K$，在这个前提下，我们只需要查找所有满足条件的非负整数 $x_1, x_2, ..., x_k$，满足 $\sum_{i=1}^k 2^{x_i}=N$。为了保证不重复枚举，我们可以加入一个限制条件 $x_i\leq x_{i+1}$。

具体实现如下：

def count(N):
    res = 0
    for K in range(1, N+1):
        arr = [0] * K
        p = K - 1
        while True:
            if sum([2**i for i in arr]) == N:
                res += 1
            if arr[0] == (N-1):
                break
            if arr[p] == (N-1):
                while arr[p] == (N-1):
                    p -= 1
                arr[p] += 1
                for i in range(p+1, K):
                    arr[i] = arr[i-1]
                p = K - 1
            else:
                arr[p] += 1
    return res

方法二：动态规划

方法一时间复杂度较高，无法处理大规模的数据。这时候我们可以尝试用动态规划来求解。

假设 $dp[i][j]$ 表示 $j$ 可以表示为 $2^k$ 次幂之和，并且最高次幂为 $2^i$ 的方案数。在这个前提下，我们可以得到以下递推式：

$$dp[i][j]=\begin{cases}dp[i-1][j]+dp[i-1][j-2^i] & if\ 2^{i-1}\leq j<2^i\ dp[i-1][j] &\text{otherwise}\end{cases}$$

显然，动态规划解法相当于是对所有 $0\leq i\leq log_2(N)$ 枚举。时间复杂度为 $O(NlogN)$。当 $N$ 过大时，我们还可以通过空间压缩将空间复杂度优化到 $O(N)$。

具体实现如下：

def count(N):
    k = int(math.log2(N))
    dp = [0] * (N+1)
    dp[0] = 1
    for i in range(k+1):
        for j in range(N, -1, -1):
            if j >= 2**i and j < 2**(i+1):
                dp[j] += dp[j-2**i]
    return dp[N]

以上就是两种方法，均可以用来求解将 N 表示为 2 的恰好 K 次幂之和问题。在实际应用中可选择更加适合的方法。