找出A + nB或B + nA形式的质数

在数论中，我们经常需要找出一些满足特定条件的质数。这里介绍一种常见的方法：找出所有形如 A + nB 或 B + nA 的质数。

算法原理

设 A 和 B 是两个正整数，n 是任意整数。我们希望找到一个满足 A + nB 或 B + nA 为质数的 n。

我们可以通过枚举 n 的值来逐一测试 A + nB 和 B + nA 是否为质数。然而，这种方法效率低下，不适用于较大的 A 和 B。

因此，我们可以进行以下改进：首先，我们需要找到一个足够大的数 M，使得对于所有的 n，A + nB 和 B + nA 都小于 M。然后，我们可以预处理出所有小于 M 的质数。对于任意的 n，我们只需要判断 A + nB 和 B + nA 是否为小于 M 的质数即可。

代码示例

下面是示例代码，使用 Python 语言实现了上述算法：

import math

def is_prime(n):
    if n <= 1:
        return False
    for i in range(2, int(math.sqrt(n)) + 1):
        if n % i == 0:
            return False
    return True

def find_primes(A, B, M):
    primes = set()
    for i in range(2, M):
        if is_prime(i):
            primes.add(i)
    ans = []
    for n in range(-M, M):
        if is_prime(A + n * B) and A + n * B < M:
            ans.append(A + n * B)
        if is_prime(B + n * A) and B + n * A < M:
            ans.append(B + n * A)
    return sorted(list(set(ans)))

A = 3
B = 7
M = 100
print(find_primes(A, B, M))

这段代码实现了三个函数：

• is_prime(n)：判断一个正整数是否为质数。
• find_primes(A, B, M)：找到所有 A + nB 或 B + nA 形式的质数，其中 n 为任意整数，小于 M。
• main()：使用示例参数调用 find_primes() 函数，并输出结果。

可以看到，find_primes() 函数首先使用 is_prime() 函数预处理出小于 M 的所有质数，然后再枚举 n 的值，判断 A + nB 和 B + nA 是否为质数。最后，将所有满足条件的质数存入 ans 列表中，并去重、排序后返回。