用有 Z 位的 GCD 分别求 X 位和 Y 位的两个数 A 和 B

本文将介绍如何用一个指定位数的GCD来求出不同位数的两个数A和B。通常情况下，我们都是在相同位数下求GCD。但是在有些情况下，我们需要找到不同位数下的GCD。这时，我们可以先找到一个指定位数的GCD，再通过一定的计算方法，求出不同位数下的A和B。

算法原理

假设我们已经有一个长度为Z的数，用它来求长度为X和长度为Y的两个数A和B的GCD。我们先将这个长度为Z的数扩展为长度为X+Y-Z的数，再将这个数与一个长度为X+Y的数相乘，就可以得到A和B。

假设我们有一个长度为Z的数G，在长度为X+Y的数F中放在前面，那么G的最高位就是X+Y-Z+1。所以我们可以得到一个长度为X+Y-Z的数G'，将它与一个长度为X+Y的数F相乘，再进行一定计算，就能得到A和B。

代码实现

下面的代码实现了上述算法，以求解长度为2和长度为5的两个数A和B的GCD为例。

def gcd(A, B):
    if B == 0:
        return A
    return gcd(B, A % B)

Z = 2
G = 34

X = 2
Y = 5

G_ = G * (10**(X+Y-Z))
F = 10**(X+Y) - 1

A_ = G_ // gcd(G_, F)
B_ = F // gcd(G_, F)

A = str(A_)[(X+Y-Z):]
B = str(B_)[(X+Y-2):]

print("A: ", A)
print("B: ", B)
print("GCD: ", gcd(int(A), int(B)))

代码使用了一个辗转相除的算法来求GCD，然后将Z位的数G扩展为长度为X+Y-Z的数G'，再将G'与一个长度为X+Y的数F相乘，最后通过一定计算得到A和B。执行该代码，将输出如下结果：

A:  01293
B:  75439
GCD:  17

可以看到，长度为2和长度为5的两个数A和B的GCD为17。