用最少的给定操作数将N减少到1

介绍

这是一个常见的问题：给定一个数字N，通过给定的一组操作，找到用最少的操作数将N减小到1的方法。

这个问题的解决方案通常是使用动态规划（DP）算法。在下面的内容中，我们将着重介绍DP算法的实现方式和优化技巧，以提高算法的效率。

动态规划的实现方法

我们可以使用一个数组dp来存储当前数字i的最少操作数。对于dp[i]，它表示将数字i减小到1所需的最少操作数。

我们可以考虑从数字i-1转移而来，或者从数字i/2或i/3转移而来。具体地，我们可以使用以下公式：

dp[i] = 1 + min(dp[i-1], dp[i/2] (if i%2 == 0), dp[i/3] (if i%3 == 0))

这个公式意味着，在将数字i减少到1的过程中，我们从数字i-1、i/2或i/3转移而来，取其中操作数最小的那一个。

那么，我们需要初始化dp数组。显然，当i=1时，dp[i]=0。此外，我们可以从i=2开始递推。

最后，返回dp[N]，即可得到将数字N减小到1所需的最少操作数。

动态规划的优化技巧

虽然动态规划算法已经可以解决这个问题，但是我们还可以进一步优化它，以获得更好的效率。

首先，我们可以使用一个滚动数组（Rolling Array），以减小空间复杂度。在计算dp[i]时，我们只需要使用i-1、i/2和i/3三个数字，因此可以使用一个大小为3的滚动数组，来存储上一个、上上个和上上上个数字的dp值。

其次，我们可以使用一些小技巧来减小操作次数。例如，当i是奇数时，我们只需要计算dp[i-1]和dp[(i+1)/2]即可，因为dp[i/2]一定等于dp[(i+1)/2]。

最后，我们可以使用一些边界条件，以减小计算量。例如，当i小于某个较小的数时，我们可以直接使用一个预先设定的映射表，以避免无谓的计算。

代码实现

下面是用Python实现该算法的示例代码：

def minimize_ops(N):
    # 初始化dp数组
    dp = [0] + [float('inf')] * N

    for i in range(2, N+1):
        dp[i%3] = 1 + dp[i-1]
        if i%2 == 0:
            dp[i%3] = min(dp[i%3], 1 + dp[i//2])
        if i%3 == 0:
            dp[i%3] = min(dp[i%3], 1 + dp[i//3])

    # 返回结果
    return dp[N%3]

其中，dp[i%3]表示当前数字为i时的dp值。这里使用了一个滚动数组。初始时dp[0]=0，dp[1]=inf。在递推过程中，dp[i%3]依次表示当前数字为i时的dp值。

总结

用最少的给定操作数将N减少到1是一个常见的问题，动态规划算法可以解决它。在实现算法时，我们需要考虑滚动数组、边界条件以及其它一些小技巧，以提高算法的效率。