在NIM游戏中以最佳方式进行第一手动作的方式数

NIM游戏是一种经典的博弈论游戏，它的规则非常简单：有若干堆石子，每次可以从其中一堆取若干个石子，两个玩家轮流进行。最后无法取走石子的玩家失败。

本文将介绍如何在NIM游戏中以最佳方式进行第一手动作，并计算出所有可行的方案数。

最佳策略

在NIM游戏中，最佳策略是将所有堆中石子数量进行异或运算，得到的结果称为NIM和。如果NIM和为0，则第一个玩家必输，否则第一个玩家必赢。

因此，最佳策略是使得第一手动作后，所有堆石子的异或和为0。如果无法满足这个条件，则第一玩家必输。

计算所有可行的方案数

为了计算所有可行的方案数，我们可以使用动态规划算法。

假设当前有n堆石子，第一手动作从第i堆取走j个石子，则剩余的状态可以用一个n-1维向量表示，其中第i维减去j。对于每个状态，我们可以计算出它的NIM和。如果NIM和为0，则当前玩家必输；否则当前玩家必赢。

因此，我们可以使用一个二维数组dp[i][j]表示从第i堆石子开始，取走j个石子的方案数。初始状态为dp[i][j]=1。然后，我们依次计算所有状态对应的NIM和，并根据NIM和的奇偶性来更新dp数组。

最终，dp[1][1]+dp[1][2]+...+dp[1][m]+dp[2][1]+...+dp[n][m]就是所有可行的方案数。

下面是示例代码：

def calculate_num_of_optimal_moves(n, m, stones):
    nim_sum = 0
    for i in range(n):
        nim_sum ^= stones[i]
        
    if nim_sum == 0:
        return 0
    
    dp = [[1] * (m+1) for _ in range(n+1)]
    for i in range(2, n+1):
        for j in range(m+1):
            for k in range(stones[i-1]+1):
                if j-k < 0:
                    break
                dp[i][j] += dp[i-1][j-k]
     
    result = 0   
    for j in range(1, m+1):
        if nim_sum^stones[0]^j == 0:
            result += dp[n][j]
    
    return result

其中，n表示堆数，m表示每堆石子的最大数量，stones是一个长度为n的整数数组，表示每堆石子的数量。函数的返回值是所有可行的第一手动作的方案数。