可以放入其他更大信封的最大信封数量

在计算机科学中，有一道经典问题被称为“信封嵌套问题”（信封包含问题、信封嵌套问题）。该问题的描述是：给出 $n$ 个长度和宽度不同的信封，它们可以相互嵌套，并且必须嵌套在一个更大的信封中。问，最多有多少个信封可以嵌套在一个信封中。

解法

这是一道经典的动态规划问题，可以通过排序和递推来解决。排序可以将问题转化为一个LIS（最长上升子序列）问题，接着使用递推计算最大嵌套数量。

定义一个数组 $dp$，$dp_i$ 表示以第 $i$ 个信封为嵌套底部的最大嵌套数量。

假设前 $i-1$ 个信封已经排好序且 $dp_1...dp_{i-1}$ 已经计算完毕，我们只需计算 $dp_i$ 的值，并将其排序后更新到数组中。

我们可以遍历前 $i-1$ 个信封，找到那些可以嵌套在第 $i$ 个信封中的信封。由于处理的是排好序的信封，所以可以使用二分查找算法来快速找到符合条件的信封。

因此，$dp_i$ 等于前 $1$ 到 $i-1$ 个信封中 $dp_j$ 的最大值加上 $1$（即第 $i$ 个信封自身）。

最终的答案就是 $dp$ 数组中的最大值。

下面是 Python3 代码实现：

def max_envelopes(envelopes: List[List[int]]) -> int:
    if not envelopes:
        return 0

    # 以信封宽度为第一关键字升序排序，宽度相同则按高度降序排序
    envelopes.sort(key=lambda x: (x[0], -x[1]))

    n = len(envelopes)
    dp = [1] * n
    for i in range(n):
        for j in range(i):
            if envelopes[j][1] < envelopes[i][1]:
                dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1)

    return max(dp)

使用该算法可以在 $O(n^2)$ 的时间复杂度内解决问题。如果使用更高效的算法，时间复杂度可以降至 $O(n\log n)$。