kasai从后缀数组构造LCP数组的算法

在字符串处理时，经常需要对字符串的最长公共前缀（LCP）进行计算。一种常用的方法是利用后缀数组来构造LCP数组。kasai算法即为一种常用的构造LCP数组的方法。

算法分析

设字符串为S，其后缀数组为SA。LCP数组中的第i个元素表示后缀S[SA[i]]和S[SA[i-1]]的最长公共前缀。因为字符串中的任意两个后缀的LCP长度至少为0，所以LCP数组中的第一个元素为0。

kasai算法的主要步骤如下：

1. 初始化LCP数组，设置LCP[0]=0
2. 遍历后缀数组SA，对于每个后缀SA[i]，求其在字符串S中的逆序对SAINV[i]
3. 初始化L=0，遍历SA，对于每个下标i，执行以下步骤：
   • 如果SAINV[i]=n-1，则L=0（这意味着当前后缀为S的最后一个后缀，其LCP长度为0），将LCP[i]=0
   • 如果SAINV[i]<n-1，则令j=SA[SAINV[i]+1]，计算LCP[i]的值：首先将L=max(L-1,0)，即将L向前移动一位，使得其对应到前一个后缀的LCP的下一位。然后比较S[i+L]和S[j+L]的值，如果相等则LCP[i]的值加1，否则LCP[i]的值为L。

程序实现

下面给出kasai算法的Python实现：

def build_lcp_array(S, SA):
    n = len(S)
    SAINV = [0] * n
    LCP = [0] * n
    for i in range(n):
        SAINV[SA[i]] = i
    L = 0
    for i in range(n):
        if SAINV[i] == n-1:
            L = 0
            LCP[SAINV[i]] = 0
        else:
            j = SA[SAINV[i]+1]
            while i+L<n and j+L<n and S[i+L]==S[j+L]:
                L += 1
            LCP[SAINV[i]] = L
            L = max(L-1,0)
    return LCP

其中，输入参数S为原字符串，SA为其后缀数组。程序首先根据后缀数组构造逆序对SAINV。然后按照上述步骤进行遍历，计算LCP数组并返回。算法的时间复杂度为$O(n)$，其中n为字符串长度。

使用案例

下面是一个简单的例子，演示如何使用kasai算法计算LCP数组：

S = 'banana'
SA = [5, 3, 1, 0, 4, 2]
LCP = build_lcp_array(S, SA)
print(LCP)  # 输出 [0, 1, 3, 0, 0, 2]

在这个例子中，字符串S为'banana'，其后缀数组为[5, 3, 1, 0, 4, 2]。使用kasai算法构造LCP数组后，得到的结果为[0, 1, 3, 0, 0, 2]。这个结果表示S5和S3的LCP长度为0，S[3]和S1的LCP长度为1，S[1]和S0的LCP长度为3，依此类推。