嵌入N边正多边形中的正方形的最小边

在计算几何中，嵌入N边正多边形中的正方形的最小边是一个经典问题，被广泛地应用于图形学、计算机视觉等领域中。在程序开发过程中，我们可以通过编写算法来解决这个问题。

问题描述

给定一个内角为$90^\circ$的正方形，和一个内角为$\frac{360^\circ}{N}$的正$N$边形。正方形的边长为$L$，正$N$边形的内接圆半径为$R$。我们需要找到最小的$L$，并满足正方形可以嵌入正$N$边形中。如下图所示：

解法

为了求出$L$的最小值，我们可以使用二分法。我们假设$L_{min}$和$L_{max}$是$L$的最小值和最大值，然后在区间$[L_{min},L_{max}]$上二分搜索$L$，直到找到最小的$L$满足正方形可以嵌入正$N$边形中。

对于任意一个$L$的值，如果正方形可以被嵌入正$N$边形中，则说明存在一条横跨正$N$边形的对角线，使得正方形可以与正$N$边形的某个顶点重合。我们可以通过计算这条对角线的长度来判断$L$是否可行。

对角线距离正$N$边形的圆心的距离为$R$，所以对角线长度为$2R$。这条对角线的长度可以通过下面的公式计算：

$diag = \sqrt{(L/2)^2 + R^2}$

如果$diag \leq R\sqrt{2}$，则表示正方形可以被嵌入正$N$边形中，此时$L$的值可能是一个可行的答案，我们需要将二分搜索区间缩小到$[L_{min},L]$。否则，$L$的值一定不能嵌入正$N$边形中，我们需要将二分搜索区间缩小到$[L,L_{max}]$。

在代码实现时，我们可以通过循环迭代或递归方式实现上述算法。

代码实现

def min_square_edge(N: int, R: float) -> float:
    eps = 1e-6
    L_min, L_max = 0.0, R * (2 ** 0.5)
    while L_max - L_min > eps:
        L = (L_min + L_max) / 2
        diag = (L / 2)**2 + R**2
        if diag <= R**2 * 2:
            L_max = L
        else:
            L_min = L
    return L_max

以上是一个简单的Python实现，函数min_square_edge接收两个参数，分别是$N$和$R$。$N$表示正$N$边形的边数，$R$表示正$N$边形的内接圆半径。实现使用二分法进行搜索，根据对角线与内接圆的位置关系来更新搜索区间。

结论

使用二分法可以在$O(\log N)$的时间复杂度内计算出正方形可以嵌入正$N$边形中的最小边长$L$。这个算法可以应用于计算机视觉、图形学等领域，以便生成具有不同嵌入效果的多边形图形。