最低成本字符串转换

在字符串处理中，我们经常遇到需要将一个字符串转换为另一个字符串的情况。在实际应用中，往往需要将一个字符串转换为另一个字符串的成本降到最低。本文介绍了使用交换、插入或删除操作将一个给定字符串转换为另一个给定字符串的最低成本算法。

问题描述

给定两个字符串 $s$ 和 $t$，你需要将字符串 $s$ 转换为字符串 $t$。你可以进行以下三种操作：

1. 交换 $s$ 中的两个相邻字符，其成本为 $cost_1$。
2. 插入一个字符，其成本为 $cost_2$。
3. 删除 $s$ 中的一个字符，其成本为 $cost_3$。

注意，这三种操作中的成本 $cost_1$、$cost_2$、$cost_3$ 可能不相等。现在，请你编写一个算法，计算将字符串 $s$ 转换为字符串 $t$ 的最低成本。

解决方案

这是一个动态规划问题，我们需要定义状态和状态转移方程。

状态定义

设 $f(i,j)$ 表示将 $s_{1\sim i}$ 转换为 $t_{1\sim j}$ 的最低成本。

状态转移

我们可以通过不断添加字符、删除字符和交换相邻字符来实现从 $s_{1\sim i-1}$ 到 $t_{1\sim j-1}$ 的转换。

1. 如果 $s_i = t_j$，则无需任何操作，$f(i,j) = f(i-1, j-1)$。

2. 如果 $s_i \neq t_j$，则需要对 $s_{1\sim i-1}$ 进行操作，使其变为 $t_{1\sim j}$。

   (1) 删除 $s_i$。此时，$f(i,j) = f(i-1, j) + cost_3$。

   (2) 插入 $t_j$。此时，$f(i,j) = f(i, j-1) + cost_2$。

   (3) 交换 $s_{i-1}$ 和 $s_i$，使得 $s_i$ 在 $s_{1\sim i-1}$ 中的位置与 $t_j$ 在 $t_{1\sim j}$ 中的位置相同。此时，$f(i,j) = f(i-2, j-2) + cost_1$。

      注意：如果 $s_{i-1} \neq t_{j-1}$，则无法通过交换 $s_{i-1}$ 和 $s_i$ 来满足条件。因此，这种情况下 $f(i,j) = \infty$。
   

综上，我们可以得到状态转移方程：

$$ f(i,j) = \begin{cases} 0 & i=0, j=0 \ j \times cost_2 & i=0, j>0 \ i \times cost_3 & i>0, j=0 \ \min \begin{cases} f(i-1,j-1) & s_i=t_j \ f(i-1,j)+cost_3 \ f(i,j-1)+cost_2 \ f(i-2,j-2)+cost_1 & s_{i-1}=t_{j-1},s_i=t_j \end{cases} & i>0, j>0 \end{cases} $$

初始值

当 $i=0$ 且 $j>0$ 时，$f(i,j)$ 表示将空串转换为 $t_{1\sim j}$ 的最低成本。因此，

$$ f(0,j) = j \times cost_2 $$

当 $i>0$ 且 $j=0$ 时，$f(i,j)$ 表示将 $s_{1\sim i}$ 转换为空串的最低成本。因此，

$$ f(i,0) = i \times cost_3 $$

最终结果

我们需要求的是将 $s_{1\sim n}$ 转换为 $t_{1\sim m}$ 的最低成本，因此最终结果是 $f(n,m)$。

代码实现

实现上述算法的代码如下（Python3）：