门| GATE 2017 MOCK II |第 45 题

这道题目考查了对有向图的深度优先遍历（DFS）的理解和应用，以及对代码实现的要求。

题目描述

给定一个有向图，其中节点编号从 1 到 N。请你编写一个算法，找到两个节点 i 和 j 之间的所有路径，这些路径必须满足以下条件：

• 路径长度最长为 K。
• 对于所有路径中的 i 和 j，i < j。
• 所有路径都必须是简单路径，即路径上不能有重复的节点。

请注意，两个节点之间可能有多个路径，而且存在自环和重边。

代码实现

给出一份 Python 实现，其中包含图的输入和 DFS 遍历的代码片段，需要根据题意进行修改并完成剩余部分代码。

# 读取输入，初始化有向图（邻接表表示）和标记数组
n, k = map(int, input().strip().split())
graph = [[] for _ in range(n + 1)]
visited = [False] * (n + 1)
for _ in range(int(input().strip())):
    u, v = map(int, input().strip().split())
    graph[u].append(v)

# DFS 遍历图，记录从起点到当前节点的路径
def dfs(node, path):
    ...
  
# 调用 DFS 函数找到所有路径
for start in range(1, n + 1):
    visited[start] = True
    dfs(start, [start])
    visited[start] = False

# 输出所有满足条件的路径
for path in paths:
    print(' -> '.join(str(node) for node in path))

注意到题目要求路径长度最大为 K，因此需要在 DFS 遍历过程中进行剪枝。当从起点到当前节点的路径长度等于 K+1 时，我们可以直接返回，因为对于所有满足条件的路径，路径长度都不超过 K。

代码片段如下：

def dfs(node, path):
    # 遍历到终点或已经达到路径长度上限
    if len(path) > k + 1 or node == n:
        return
    # 遍历该节点的所有邻居
    for neighbor in graph[node]:
        if not visited[neighbor]:
            visited[neighbor] = True
            dfs(neighbor, path + [neighbor])
            visited[neighbor] = False
    # 如果遍历到的是起点，记录下这一条路径
    if node == path[0] and len(path) > 1:
        paths.append(path)

最后需要将所有满足条件的路径输出。注意到题目中要求路径从小到大输出，因此在 DFS 遍历过程中不能直接将搜索到的路径输出，而是需要在遍历结束后进行排序。

# 去除重复路径，并按照题目要求的顺序排序
paths = list(set(tuple(path) for path in paths))
paths.sort()

# 输出所有满足条件的路径
for path in paths:
    print(' -> '.join(str(node) for node in path))

完整代码如下：

n, k = map(int, input().strip().split())
graph = [[] for _ in range(n + 1)]
visited = [False] * (n + 1)
paths = []

for _ in range(int(input().strip())):
    u, v = map(int, input().strip().split())
    graph[u].append(v)

def dfs(node, path):
    if len(path) > k + 1 or node == n:
        return
    for neighbor in graph[node]:
        if not visited[neighbor]:
            visited[neighbor] = True
            dfs(neighbor, path + [neighbor])
            visited[neighbor] = False
    if node == path[0] and len(path) > 1:
        paths.append(path)

for start in range(1, n + 1):
    visited[start] = True
    dfs(start, [start])
    visited[start] = False

paths = list(set(tuple(path) for path in paths))
paths.sort()

for path in paths:
    print(' -> '.join(str(node) for node in path))

总结

此题需要掌握有向图的DFS遍历，并进行一定程度的剪枝，以避免时间复杂度过高。同时需要注意到输入格式和输出格式，保证程序能够正确输出结果。