将相似元素排列在一起的最小相邻交换数

在程序设计中，排序算法是非常重要的一部分。而许多时候，我们需要将相似元素排列在一起，并且要求交换元素的次数最少。本文将介绍一种算法来计算将相似元素排列在一起的最小相邻交换数。

问题描述

给定一个长度为$n$的数组$a_1,a_2,\cdots,a_n$，其中每个元素都是正整数，并且每个数都出现了恰好$k$次。现在要将这个数组中所有相同的数排列在一起，并且要求交换相邻元素的次数最少。求最少的交换次数。

解决方案

我们可以将所有相同的数看作是一个点，对于每个点，我们可以将它与其他出现相同的数连边，由此形成一个无向图。对于每个连通块，我们可以将它们内部的元素进行排序，而交换相邻元素的次数就等于图中任意两点间的最短距离。

考虑如何计算最短距离。我们可以使用Floyd算法来计算任意两点间的最短距离。具体而言，如果点$i$和$j$之间有一条边，那么它们之间的距离为$1$；如果它们之间有一条路径$u_1,u_2,\cdots,u_k$，那么它们之间的距离为$dist_{i,j}=k$。我们可以使用Floyd算法来计算任意两点之间的最短距离，时间复杂度为$O(n^3)$。

def min_swaps(a, k):
    n = len(a) // k
    b = [set() for _ in range(n)]
    cnt = [0] * (n+1)
    vis = [False] * (n+1)
    for i in range(n*k):
        b[a[i]-1].add(i)
        cnt[a[i]] += 1
    G = [[10**9]*n for _ in range(n)]
    for i in range(n):
        for j in range(k-1):
            for l in range(j+1, k):
                G[i][i] = 0
                G[i][a[b[i].pop()][-1] // k] = 1
    min_swaps = 0
    for _ in range(n):
        min_edge = 10**9
        min_idx = -1
        for i in range(n):
            if vis[i]: continue
            for j in range(n):
                if vis[j]: continue
                if G[i][j] < min_edge:
                    min_edge = G[i][j]
                    min_idx = i
        min_swaps += min_edge
        vis[min_idx] = True
        for i in range(n):
            if vis[i]: continue
            G[i][min_idx] = G[min_idx][i] = min(G[i][min_idx], G[i][min_idx]+min_edge)
    return min_swaps

测试样例

我们可以使用以下测试数据来测试程序：

if __name__ == '__main__':
    a = [1, 2, 3, 4, 1, 2, 3, 4]
    k = 2
    assert min_swaps(a, k) == 0
    
    a = [1, 2, 3, 2, 1, 3]
    k = 2
    assert min_swaps(a, k) == 1

总结

通过无向图的最短路径算法，我们可以很方便地计算出将相似元素排列在一起的最小相邻交换数。算法的时间复杂度是$O(n^3)$，但是实际应用中通常可以在$O(n^2)$的时间内完成。