通过交换相邻元素将1排序为N

有一个序列，初始状态是$1,2,3...,N$，我们可以进行若干次以下操作：选择相邻两个元素并交换它们。完成这个操作后，1的位置可能改变。请问，最少需要进行多少次操作，才能将1交换到第一个位置？

这是一道经典的算法问题，有多种解法。下面将介绍一些方法。

方法1：暴力枚举

最朴素的想法就是从前往后遍历整个序列，如果发现1不在第一个位置，就不断将它和前一个元素交换，直到1到达第一个位置。

这个算法的时间复杂度为$O(N^2)$，显然无法通过本题。但我们可以用它来做一些对拍测试。

以下是Python代码实现：

def brute_force(n, a):
    cnt = 0
    for i in range(n):
        if a[i] == 1:
            while i > 0 and a[i-1] != 1:
                a[i], a[i-1] = a[i-1], a[i]
                i -= 1
                cnt += 1
            break
    return cnt

方法2：数学计算

如果我们能够计算出1最终所在的位置，那么就可以算出需要交换的次数。

观察交换相邻元素的操作，我们可以想到每次交换都会把两个元素的相对位置差异减少2。所以当1需要交换$i$次才能到达第一个位置时，$i$就应该是一个偶数。

不难发现，当$N$为奇数时，1需要交换$(N-1)/2$次，到达中间位置，然后再交换$(N-3)/2$次到达第一个位置。当$N$为偶数时，1需要交换$N/2$次，到达中间两个位置的任意一个，然后再交换$(N-2)/2$次到达第一个位置。因此，可以得到如下代码实现：

def math_solution(n):
    if n % 2 == 1:
        return (n-1)//2 + (n-3)//2
    else:
        return n//2 + (n-2)//2

该算法的时间复杂度为$O(1)$，可以通过本题。

方法3：公式法

我们可以发现，对于一个序列$1,2,3,...,N$，如果我们把第$i$个元素和第$i+1$个元素交换了，相当于把序列重新排列为：

$1,2,...,i+1,i,i+2,..,N$

换句话说，对于序列$1,2,...,N$，我们选择交换第$i$个元素和第$i+1$个元素所得到的序列，一共有$N-1$种可能。因此，需要交换的次数就是1最终所在的位置到第一个位置的距离，即：

$ans = \sum_{i=1}^{N-1} (N-i)[i\text{在1前面}]$

其中，$[i\text{在1前面}]$表示$i$在1的前面，其值为0或1。上述公式中，$N-i$表示第$i$个元素到达第一个位置需要交换的次数。

用Python代码实现：

def formula(n):
    ans = 0
    for i in range(1, n):
        if i < n-i:
            ans += (n-i)
    return ans

其时间复杂度为$O(N)$，也可以通过本题。

方法4：二分法

暴力枚举的时间复杂度过高，但我们可以尝试用二分法来提高效率。

考虑如何判断一个序列是否能够通过交换相邻元素将1交换到第一个位置。观察若干个例子，可以得到以下结论：当1在序列的偶数位置上，且序列逆序对数量为奇数时，无法通过交换相邻元素将1交换到第一个位置；当1在序列的奇数位置上，且序列逆序对数量为偶数时，无法通过交换相邻元素将1交换到第一个位置。

有了上述结论，可以用二分法来求解本题。具体的，可以首先用归并排序求出原序列的逆序对数量，然后再通过二分查找来确定1最终所在的位置。

将上述算法实现为Python代码：

def merge_sort(a):
    if len(a) <= 1:
        return a, 0
    mid = len(a) // 2
    left, cnt1 = merge_sort(a[:mid])
    right, cnt2 = merge_sort(a[mid:])
    cnt = cnt1 + cnt2
    i = j = 0
    b = []
    while i < len(left) and j < len(right):
        if left[i] <= right[j]:
            b.append(left[i])
            i += 1
        else:
            b.append(right[j])
            j += 1
            cnt += len(left) - i
    b += left[i:]
    b += right[j:]
    return b, cnt

def binary_search(n, a):
    l, r = 0, n-1
    while l < r:
        mid = (l + r) // 2
        if a[mid] == 1:
            r = mid
        elif mid % 2 == 1 and (n-1-mid) % 2 == 0:
            r = mid - 1
        elif mid % 2 == 0 and (n-1-mid) % 2 == 1:
            r = mid - 1
        else:
            l = mid + 1
    return l

def binary_solution(n, a):
    cnt = merge_sort(a)[1]
    pos = binary_search(n, a)
    return (n-1-pos) // 2 + pos // 2 + cnt

其时间复杂度为$O(N\log N)$，可以通过本题。

以上就是4种不同的做法，各有优缺点。在实际应用中，需要根据具体情况选择最适合的方法。