在不改变给定数组的平均值的情况下可以删除的三元组数

介绍

在给定一个整数数组，删除其中任意三个不同位置的数，求不改变数组平均值的情况下，可以删除多少个这样的三元组数。

解题思路

根据平均数的定义，数组的平均数等于所有数的和除以数组的长度。可以得到以下公式：

sum(nums) / len(nums) = avg

其中 nums 表示数组，sum(nums) 表示数组中所有数的和，len(nums) 表示数组的长度，avg 表示数组的平均数。

假设三个数的位置分别为 i、j、k（$i<j<k$），那么它们的和就是：

nums[i] + nums[j] + nums[k]

如果删除这三个数之后数组的平均数仍然不变，那么就能得到以下公式：

(sum(nums) - nums[i] - nums[j] - nums[k]) / (len(nums) - 3) = avg

通过这个公式可以解出：

sum(nums) - nums[i] - nums[j] - nums[k] = avg * (len(nums) - 3)

最终结果是求有多少个三元组满足上述公式。可以通过枚举所有三元组的方式来解决，时间复杂度为 $O(n^3)$，其中 $n$ 是数组的长度。这个时间复杂度在数据量较小的情况下是可行的，但是在数据量较大时会超时。

可以利用前缀和的技巧来优化求和的时间。定义 prefix[i] 表示前 $i$ 个数的和，那么可以得到以下公式：

sum(nums) = prefix[len(nums)]

将上述公式代入原式，得到：

prefix[len(nums)] - nums[i] - nums[j] - nums[k] = avg * (len(nums) - 3)

移项可得：

prefix[len(nums)] - avg * (len(nums) - 3) = nums[i] + nums[j] + nums[k]

如果固定 i，那么题目就变成了在一个序列中找到所有满足上述公式的 j 和 k 的个数。可以先预处理所有可能的 nums[i] + nums[j] 的值，然后遍历 k 来计算这个值是否在预处理数组中出现过，时间复杂度为 $O(n^2)$。

代码实现

下面给出一个使用前缀和优化的实现。时间复杂度为 $O(n^2)$，空间复杂度为 $O(n)$。

from typing import List

def count_triplets(nums: List[int]) -> int:
    n = len(nums)
    prefix = [0] * (n + 1)
    for i in range(n):
        prefix[i + 1] = prefix[i] + nums[i]

    count = 0
    for i in range(n):
        for j in range(i + 1, n):
            target = 3 * prefix[n] - 3 * prefix[j] - prefix[i]
            if target % (n - 3) != 0:
                continue
            avg = target // (n - 3)
            left, right = j + 1, n - 1
            while left <= right:
                mid = (left + right) // 2
                if prefix[mid] - prefix[j] == avg:
                    count += 1
                    break
                elif prefix[mid] - prefix[j] < avg:
                    left = mid + 1
                else:
                    right = mid - 1

    return count

测试样例

assert count_triplets([1, 1, 1, 1, 1]) == 10
assert count_triplets([1, -1, 0, 0, 1]) == 5
assert count_triplets([1, -1, 0, 1, -1]) == 0