寻找所有元素相等的最大平方子矩阵

简介

给定一个矩阵，找出其中所有元素相等的最大平方子矩阵。本问题可以通过动态规划的思想来解决。

思路

我们可以定义一个二维数组 dp，其中 dp[i][j] 表示以矩阵中第 i 行第 j 列的元素作为右下角元素的最大平方子矩阵的边长。假设矩阵中第 i 行第 j 列的元素为 x，那么有以下几种情况：

1. i == 0 或 j == 0：此时以 x 作为右下角元素的最大平方子矩阵只可能是 x 本身，因此有 dp[i][j] = 1。

2. x != matrix[i-1][j-1]：此时以 x 作为右下角元素的最大平方子矩阵不存在，因此有 dp[i][j] = 0。

3. x == matrix[i-1][j-1]：此时以 x 作为右下角元素的最大平方子矩阵存在。假设该矩阵的边长为 k，则必须满足以下三个条件：

   1. matrix[i-k][j-1] ~ matrix[i-1][j-1] 的元素均等于 x；
   2. matrix[i-1][j-k] ~ matrix[i-1][j-1] 的元素均等于 x；
   3. 边长为 (k+1) 的矩阵中，matrix[i-k-1][j-k-1] ~ matrix[i-1][j-1] 的元素均等于 x。

   由此可知，可以通过 dp[i-1][j-1] 来判断以 x 作为右下角元素的最大平方子矩阵的边长 k 是否存在。如果不存在，那么 dp[i][j] = 1；否则，dp[i][j] = k + 1。

最后，我们只要找出 dp 数组中的最大值，就可以得到所有元素相等的最大平方子矩阵的边长。

代码实现

下面给出 Python 3 的代码实现。

def find_max_square(matrix: list) -> int:
    m, n = len(matrix), len(matrix[0])
    dp = [[0] * n for _ in range(m)]
    ans = 0
    for i in range(m):
        for j in range(n):
            if i == 0 or j == 0:
                dp[i][j] = 1 if matrix[i][j] == matrix[0][0] else 0
            elif matrix[i][j] != matrix[i-1][j-1]:
                dp[i][j] = 0
            else:
                k = dp[i-1][j-1]
                if matrix[i-k][j-1] == matrix[i][j] and matrix[i-1][j-k] == matrix[i][j]\
                    and matrix[i-k][j-k] == matrix[i][j]:
                    dp[i][j] = k + 1
                else:
                    dp[i][j] = 1 if matrix[i][j] == matrix[0][0] else 0
            ans = max(ans, dp[i][j])
    return ans * ans

时间复杂度

本算法的时间复杂度为 O(mn)，其中 m 和 n 分别为矩阵的行数和列数。

空间复杂度

本算法的空间复杂度为 O(mn)，其中 m 和 n 分别为矩阵的行数和列数。