具有所有相等元素的最大子矩阵

在矩阵计算过程中，经常需要寻找子矩阵中具有某些特定属性的子矩阵。其中一个比较有趣的问题就是寻找具有相等元素的最大子矩阵。

问题描述

给定一个 $n\times m$ 的矩阵 $A$，请寻找该矩阵中具有所有元素相等的最大子矩阵 $B$。

解决方案

暴力解法

最简单直接的方法是暴力枚举每个可能的子矩阵，检查其中所有元素是否相等。时间复杂度为 $O(n^6)$，适用于比较小的矩阵。

def max_equal_submatrix(A):
    n, m = len(A), len(A[0])
    max_size = 0
    max_matrix = []
    for x1 in range(n):
        for y1 in range(m):
            for x2 in range(x1, n):
                for y2 in range(y1, m):
                    submatrix = A[x1:x2+1][y1:y2+1]
                    if len(set(map(tuple, submatrix))) == 1:
                        size = (x2-x1+1) * (y2-y1+1)
                        if size > max_size:
                            max_size = size
                            max_matrix = submatrix
    return max_matrix

动态规划解法

可以利用动态规划来解决该问题。首先，对于每个位置 $(i,j)$，记录 $i$ 行中以该位置结尾的最长相等元素的子序列长度 $L_i(j)$。对于每个以位置 $(i,j)$ 为右下角的矩形，如果该矩形中每行的最长相等元素的子序列长度都等于该矩形的高，并且该矩形的面积大于之前找到的最大矩形的面积，则更新最大矩形。

时间复杂度为 $O(nm^2)$。

def max_equal_submatrix(A):
    n, m = len(A), len(A[0])
    L = [[0 for j in range(m)] for i in range(n)]
    max_size = 0
    max_matrix = []
    for i in range(n):
        for j in range(m):
            if A[i][j] == A[i][j-1]:
                L[i][j] = L[i][j-1] + 1
            else:
                L[i][j] = 1
            for k in range(i, -1, -1):
                height = i - k + 1
                width = min(L[k][j], L[i][j])
                if height * width > max_size:
                    submatrix = A[k:i+1][j-width+1:j+1]
                    if len(set(map(tuple, submatrix))) == 1:
                        max_size = height * width
                        max_matrix = submatrix
    return max_matrix

总结

在实际应用中，暴力解法只适用于较小的矩阵，而动态规划解法的时间复杂度较低，适用于大多数情况。当然，还可以使用其他的算法来解决该问题，例如利用单调栈、FFT 或者随机化算法，这里不再赘述。