广义斐波那契数

广义斐波那契数是一种数列，其定义为：

f(n) = f(n-1) + f(n-2) + ... + f(n-k)

其中，k为常数。特别地，当k=2时，这就是经典的斐波那契数列。

广义斐波那契数在程序中有很多应用，比如：

• 计算路线问题中的方案数
• 实现最近命中缓存算法中的替换策略

实现思路

我们可以采用递推的方法来求解广义斐波那契数列。设f[i]表示第i个数的值，则：

for i in range(k, n+1):
    f[i] = sum(f[i-j] for j in range(1, k+1))

其中，n是我们要求出的数列中的最后一项。

为了避免重复计算，我们可以将前k-1个数的值提前计算出来。具体实现如下：

f = [0] * (n+1)
for i in range(k-1):
    f[i] = 1

for i in range(k, n+1):
    f[i] = sum(f[i-j] for j in range(1, k+1))

时间复杂度

对于求出广义斐波那契数列中的一个数，我们需要进行k次加法操作。因此，求出前n个数的时间复杂度为O(k*n)。当k=2时，这就是经典的斐波那契数列，时间复杂度为O(n)。

空间复杂度

我们需要用一个数组来存储所有的数值。因此，空间复杂度为O(n)。

示例代码

下面是Python实现的示例代码：

def generalized_fibonacci(n, k):
    f = [0] * (n+1)
    for i in range(k-1):
        f[i] = 1

    for i in range(k, n+1):
        f[i] = sum(f[i-j] for j in range(1, k+1))

    return f[n]

总结

广义斐波那契数是一种比较特殊的数列，其应用十分广泛。相比于经典的斐波那契数列，其实现上稍微有些复杂，但是只要掌握递推思想，就可以轻松解决问题。