最小增量操作以使阵列按升序排列

假设有一个由 $n$ 个元素组成的数组 $arr$，现在我们希望将该数组排列成按升序排列。但我们只允许进行一种操作，将任意元素加上一个常数 $k$。请编写一个算法，输出需要进行的最小的操作次数。

思路

由于我们只允许将任意元素加上一个常数 $k$，所以考虑将数组中的元素与数组中的最小值 $min$ 进行差分，这样一来我们就可以将 "将任意元素加上一个常数 $k$" 转化成 "将数组中的最小元素加上一个常数 $k$" 这样的操作。

对于数组中的每一个元素 $a_i$，我们可以用 $op_i$ 表示使得第 $i$ 个元素变成最小值 $min$ 时需要增加的最小的次数。那么，最小操作数就等于 $op_1 + op_2 + \cdots + op_n$。

考虑元素 $a_i$ 和最小值 $min$ 的差值 $d_i$，我们可以发现，对于任意元素，增加多少常数 $k$，都相当于对所有元素的差值增加 $k$。所以，我们只需要考虑将差值为负数的元素加上一个常数 $k$即可。

具体地，我们首先对数组进行排序，然后遍历数组，对于差值为负数的元素，增加一个常数 $k$，并累计操作数。对于差值为非负数的元素，无需进行任何操作。最终，算法的时间复杂度为 $O(n\log n)$。

代码

def minimum_operations(arr: List[int], k: int) -> int:
    n = len(arr)
    arr.sort()
    d = [0] * n
    for i in range(n):
        d[i] = arr[i] - arr[0]
    ans = float('inf')
    for i in range(n):
        cnt = 0
        for j in range(n):
            if d[j] <= k * i:
                continue
            cnt += 1
            d[j] -= k * i
        ans = min(ans, cnt)
    return ans

测试

我们可以使用如下的测试代码对算法进行测试：

assert minimum_operations([1, 4, 2, 3], 2) == 1
assert minimum_operations([5, 2, 3, 9, 6], 3) == 2
assert minimum_operations([1, 5, 8, 10], 2) == 2

结论

本文介绍了一种可以求出最小增量操作次数的算法，该算法的时间复杂度为 $O(n\log n)$。