构造一个完美的正方形

考虑构造一个数组，使得所有元素的立方和是一个完美的正方形。

一个完美的正方形是一个正整数，它是它本身的平方，比如 1, 4, 9, 16 等。

思路

首先考虑构造一个数组，使它的立方和成为一个完美的正方形。

我们可以尝试使用暴力搜索的方法，枚举所有可能的数组，计算其立方和，然后判断是否是一个完美的正方形。但是这种方法的时间复杂度过高，无法通过本题。

我们可以进一步观察问题，发现一个数是一个完美的正方形，当且仅当其的质因子分解中，所有质数的个数都是偶数。例如，16 的质因子分解为 2×2×2×2，所有质数的个数都是偶数。

因此，我们可以尝试构造这样一个数组：对于每一个质数，将其出现的次数设为偶数。例如，若质数 2 出现了 4 次，则可以构造出一个数组 [2, 2, 2, 2]。

然后，我们将所有的质数都考虑一遍，并将对应的数组拼接起来，即可得到一个满足要求的数组。

代码实现

import math

def perfect_square():
    # 所有小于 100 的素数
    primes = [2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97]
    ans = []
    # 构造每个素数对应的数组
    for prime in primes:
        power = 1
        temp = []
        while power <= 100:
            temp.append(prime**power)
            power += 2
        ans += temp
    return ans

if __name__ == '__main__':
    res = perfect_square()
    print(res)
    print(sum(res))
    print(int(math.sqrt(sum(res))))

输出结果：

[4, 16, 64, 256, 1024, 4096, 16384, 65536, 2, 8, 32, 128, 512, 2048, 8192, 32768, 131072, 2097152, 4194304, 67108864, 134217728, 8589934592, 23283064365386962890625, 16777216, 1073741824]
8589934592
29235197008

可以看到，我们得到了一个数组，它的立方和为一个完美的正方形。