构建DFA以接受以“01”开头或结尾的二进制字符串

一个有限自动机(FA)或确定型有限状态自动机(DFA)是一种基于一系列输入符号，从初始状态经过转移函数转移到接受状态的有限状态机。在本文中，我们将学习如何构建一个DFA以接受以“01”开头或结尾的二进制字符串。

DFA的定义

在开始构造DFA之前，我们需要了解DFA的定义：

一个确定性有限状态自动机(DFA)可以表示为一个5元组：(Q，Σ，δ，q0，F)，其中：

• Q是有限状态集合.
• Σ是输入符号的有限集合。
• δ是转移函数，定义了从一个状态到另一个状态的转移。
• q0是初始状态。
• F是一组接受状态，即当DFA停止时达到的状态。

DFA的构建

接下来，我们将学习如何构建接受以“01”开头或结尾的二进制字符串的DFA。

状态集合

首先，我们需要定义状态集合。在这个DFA中，我们可以有4个状态：

• q0：初始状态。
• q1：接受状态，代表以“01”开头的二进制字符串。
• q2：中间状态，代表接受了一个“0”并等待接受一个“1”。
• q3：接受状态，代表以“01”结尾的二进制字符串。

| 状态 | 描述                   |
|------|------------------------|
| q0   | 初始状态                  |
| q1   | 以“01”开头的二进制字符串      |
| q2   | 接受了一个“0”并等待接受一个“1” |
| q3   | 以“01”结尾的二进制字符串      |

输入集合

接下来，我们需要定义输入集合。在这个DFA中，我们只有两个输入–0和1。

Σ = {0, 1}

转移函数

现在我们可以定义转移函数δ。这个DFA的转移函数如下：

• 从q0状态开始，输入0将使DFA进入q2状态。输入1将使DFA进入q1状态。
• 从q1状态开始，无论输入什么，DFA都将停止。
• 从q2状态开始，输入1将使DFA进入q3状态。输入0将使DFA停止。
• 从q3状态开始，无论输入什么，DFA都将停止。

| δ    | 0       | 1       |
|------|---------|---------|
| q0   | q2      | q1      |
| q1   | 停止      | 停止      |
| q2   | 停止      | q3      |
| q3   | 停止      | 停止      |

初始状态

这个FA的初始状态是q0。

接受状态

最后，我们需要定义接受状态。在这个DFA中，我们有两个接受状态：q1和q3。

F = {q1, q3}

代码实现

下面是代码实现的DFA，用Python语言实现的过程中使用了矩阵来表示该DFA。

dfa = {
    'q0': {'0': 'q2', '1': 'q1'},
    'q1': {},
    'q2': {'0': 'q2', '1': 'q3'},
    'q3': {}
}

def check_string(input_str):
    current_state = 'q0'
    for char in input_str:
        if char not in dfa[current_state]:
            return False
        else:
            current_state = dfa[current_state][char]
    return current_state in ['q1', 'q3']

test_cases = ['0110', '1011', '010110', '0010', '11011010']
for s in test_cases:
    if check_string(s):
        print(s, 'is accepted')
    else:
        print(s, 'is rejected')

总结

在本文中，我们学习了如何构建一个接受以“01”开头或结尾的二进制字符串的DFA。我们了解了DFA的组成部分–状态集合，输入集合，转移函数，初始状态和接受状态，并通过代码演示了整个过程。这是一个简单的例子，但它向我们展示了DFA的工作原理和用途。